VC
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
ML
9 tháng 8 2015
Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{2}{2\left(n+1\right)\sqrt{n}}<\)\(\frac{2}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+\sqrt{n+1}.n}=\frac{2}{\sqrt{n+1}\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)
\(=2.\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}\sqrt{n}}=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{2\sqrt{1}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}<\)\(2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)<\)\(2\)
L
27 tháng 11 2020
Ta có :
\(\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{2\sqrt{k}}>\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}{\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)}\)
\(=2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\)
Vậy : \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+.....+\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{2}-1\right)+2\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+....+2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
\(=2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\left(đpcm\right)\)
giờ này ko ai on mà trả lời đâu bn, mk mới 6 lên 7 nên ko làm dcd
Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
+Với n=1 thì\(\sqrt{1^3}=1\). Mệnh đề đúng với n = 1.
+Giả sử mệnh đề đúng với n = k thì ta có:
\(\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+k^3}=1+2+3+...+k\)
\(\Rightarrow1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^3\)(1)
Mặt khác ta có: \(\left[\left(1+2+3+...+k\right)+\left(k+1\right)\right]^2\)
\(=\left(1+2+3+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^2+2\left(1+2+3+...+k\right)\left(k+1\right)\)
\(=\left(1+2+3+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^2+k\left(k+1\right)^2\)
\(=\left(1+2+3+...+k\right)^2+\left(k+1\right)^3\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left[\left(1+2+3+...+k\right)+\left(k+1\right)\right]^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3}=1+2+3+...+k+\left(k+1\right)\)
Tức mệnh đề đúng với n = k + 1.
Theo nguyên lí qui nap mệnh đề đúng với mọi n nguyên dương.