Question

[Yim Yim]

CMR: \(F=\sqrt{\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{\left(y-z\right)^2}+\frac{1}{\left(z-x\right)^2}}\)

là một số hữu tỉ với x,y,z là đôi một số hữu tỉ khác nhau

Answer 1

[Đinh Đức Hùng]

Đặt \(\hept{\begin{cases}x-y=a\\y-z=b\\z-x=c\end{cases}}\)

Vì \(\left(x-y\right)+\left(y-z\right)+\left(z-x\right)=0\) nên \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)

Ta có : \(P=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^2b^2+a^2\left(a+b\right)^2+a^2b^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}=\sqrt{\frac{a^4+b^4+a^2b^2+2ab^3+2ab^3+2a^2b^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\frac{\left(a^2+b^2+ab\right)^2}{a^2b^2\left(a+b\right)^2}}=\frac{a^2+b^2+ab}{ab\left(a+b\right)}\) là một số hữu tỉ (đpcm)

Answer 2

[๖ACE✪Hoàngミ★Việtツ]

Hình như đề thiếu bạn ak