K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
T
3 tháng 5 2019
BĐT \(\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\) không cần chứng minh phải không?Thế thì bài này khá đơn giản mà?
\(A=4\left(a^3+b^3\right)+\frac{1}{ab}=8\left(\frac{a^3}{2}+\frac{b^3}{2}\right)+\frac{1}{ab}\)
\(\ge8\left(\frac{a+b}{2}\right)^3+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}=1+4=5\)
CH
Cô Hoàng Huyền
Admin
VIP
15 tháng 1 2018
Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge\frac{1}{25}\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}-\frac{1}{25}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{25a^2+25b^2-12a^2-25ab-12b^2}{25\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{13a^2-25ab+13b^2}{25\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{13\left(a^2-2.\frac{25}{26}ab+\frac{625}{676}b^2\right)+\frac{51}{52}b^2}{25\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{13\left(a-\frac{25}{26}b\right)^2+\frac{51}{52}b^2}{25\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge0\)
Do a, b > 0 nên cả tử và mẫu của phân thức bên vế trái đều lớn hơn 0.
Vậy bất đẳng thức cuối là đúng hay \(\frac{a^2+b^2}{\left(4a+3b\right)\left(3a+4b\right)}\ge\frac{1}{25}\forall a,b>0;a\ne-\frac{3b}{4};b\ne-\frac{4b}{3}\)
QT
2
17 tháng 3 2019
a, \(a^4+b^4-a^3b-ab^3=a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\)
\(=\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)=\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\)
Mà \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\\a^2+ab+b^2=\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\forall a;b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\Leftrightarrow a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b
b, \(a^3-3a^2+4a+1=a\left(a^2-4a+4\right)+a^2+1=a\left(a-2\right)^2+a^2+1>0\left(\forall a>0\right)\)
c, \(a^4+b^2+2-4ab=\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(2a^2b^2-4ab+2\right)\)
\(=\left(a^2-b^2\right)^2+2\left(ab-1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+2\ge4ab\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}a=b=1\\a=b=-1\end{cases}}\)
KB
20 tháng 3 2019
a ) Ta có : \(\left(ab+1\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2+2ab+1-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)^2\ge0\)
=> BĐT luôn đúng
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow ab=1\)
b ) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki , ta có :
\(\left(ab+1.2\right)^2\le\left(a^2+1^2\right)\left(b^2+2^2\right)=\left(a^2+1\right)\left(b^2+4\right)\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow2a=b\)
c ) Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm , ta có :
\(4a^2+b^2\ge2\sqrt{4a^2.b^2}=4ab\)
\(\Rightarrow2\left(4a^2+b^2\right)\ge4a^2+4ab+b^2=\left(2a+b\right)^2\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow2a=b\)
d ) \(x^5+y^5\ge xy\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Leftrightarrow x^5-x^4y-y^4x+y^5\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^4-y^4\right)\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)\ge0\)
Vì x ; y > 0 => BĐT luôn đúng
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
25 tháng 6 2019
17) \(\frac{10x^2-7x-5}{2x-3}\) là số nguyên khi 10x² - 7x - 5 \(⋮\) 2x - 3
Ta có: 10x² - 7x - 5 = 10x² - 15x + 8x - 12 + 7 = 5x(2x-3) + 4(2x-3) + 7
\(\Rightarrow\) 10x² - 7x - 5 \(⋮\) 2x - 3 khi và chỉ khi 7 chia hết cho 2x-3
\(\Rightarrow\) 2x - 3 \(\in\) Ư(7) \(\Leftrightarrow\) 2x - 3 = \(\left\{-1;1;-7;7\right\}\)
TH1: 2x-3 = -1 <=> x = 1
TH2: 2x-3 = 1 <=> x = 2
TH3: 2x-3 = -7 <=> x = -2
TH4: 2x-3 = 7 <=> x = 5
Vây có 4 giá trị nguyên của x là \(\left\{-2;1;2;5\right\}\)
25 tháng 6 2019
23) Cm rằng
a) a2+b2−2ab ≥0
Ta có: a2+b2−2ab = a2−2ab+b2 = (a - b)2 ≥ 0 (đpcm)
b)\(\frac{a^2+b^2}{2}\) ≥ ab
Ta có: (a-b)2 ≥0 vs mọi a,b
\(\Leftrightarrow\) a2−2ab+b2 ≥0
\(\Leftrightarrow\) a2+b2 ≥ 2ab
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{a^2+b^2}{2}\) ≥ ab (đpcm)
c) a(a+2)<(a+1)2
Ta có: a(a+2)= a2+2a
(a+1)2 = a2 + 2a + 1
\(\Rightarrow\) a(a+2)<(a+1)2 (đpcm)
d) m2+n2+2 ≥ 2(m+n)
Ta có: (m-n)2 \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) m2- 2mn+n2 \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) m2+n2 \(\ge\) 2mn
\(\Leftrightarrow\) m2+n2+2 \(\ge\) 2mn+2
\(\Leftrightarrow\) m2+n2+2 ≥ 2(m+n) (đpcm)
e) (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))≥4 (với a>0, b>0)
Ta có: (a - b)2 ≥ 0
\(\Leftrightarrow\) a2−2ab+b2 ≥ 0
\(\Leftrightarrow\) a2+2ab - 4ab+b2 ≥ 0
\(\Leftrightarrow\) (a + b)2 - 4ab≥ 0
\(\Leftrightarrow\) (a + b)2 ≥ 4ab
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}\) ≥ 4
\(\Leftrightarrow\) (a+b) ( \(\frac{a+b}{ab}\) ) ≥ 4
\(\Leftrightarrow\) (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))≥4 (vs a,b > 0) (đpcm)
\(\text{BĐT }\Leftrightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge\left(a+b\right)ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2\right)=\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\text{ nên cần thêm đk:}a\ge-b\)