Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
CM CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SAU
A) \(X+\dfrac{1}{X}\ge2\) (X>0)
B) \(\dfrac{A}{B}+\dfrac{B}{A}\ge2\) (AB>0)
Bạn hỏi câu này có lẽ bạn chưa biết BĐT côsi, mk sẽ trình bày từ bước chứng minh BĐT
Ta có: \(\left(m-n\right)^2\ge0\)
<=> \(m^2-2m.n+n^2\ge0\)
<=> \(m^2+2m.n+n^2-4m.n\ge0\)
<=> \(\left(m+n\right)^2\ge4m.n\)
=> \(m+n\ge2\sqrt{m.n}\) ( BĐT côsi)
a, Áp dụng BĐT côsi ta có:
\(\dfrac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x}.x}=2\)
vậy \(\dfrac{1}{x}+x\ge2\) (x>0)
b, Áp dụng BĐT côsi ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
vậy \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\) với a, b >0
-----------Chúc bạn học tốt 
-------------
5. phân tích ra : \(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+1\)
áp dụng bđ cosy
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2\)
=> đpcm
6. \(x^2-x+1=x^2-2.\dfrac{1}{2}.x+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)
hay với mọi x thuộc R đều là nghiệm của bpt
7.áp dụng bđt cosy
\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge2\sqrt{a^2.b^2.c^2.d^2}=4abcd\left(đpcm\right)\)
a/Xét hiệu:
\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\)
\(\Leftrightarrow x\ge2-\dfrac{1}{x}\)\(\Leftrightarrow x\ge\dfrac{2x-1}{x}\)
\(\Rightarrow x^2\ge2x-1\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\)
(luôn đúng)
=> Đpcm
dấu ''='' xảy ra khi x = 1
b/ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
dấu ''='' xảy ra khi a = b
Cách khác
a) x>0: \(x+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{x.\dfrac{1}{x}}=2\)
\("="\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{x};x>0\Rightarrow x=1\)
b) a;b>0 \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\dfrac{4}{a+b}\)
\("="\Leftrightarrow a=b\)
a) Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm , ta có:
\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)
b) Xét hiệu:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( luôn đúng)
=> \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)
a) a + b ≥ 2\(\sqrt{ab}\) ( a > 0 ; b > 0 )
⇔ a - 2\(\sqrt{ab}\) + b ≥ 0
⇔ \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\) ≥ 0 ( luôn đúng )
b) Áp dụng BĐT Cô-si :
x2 + y2 ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0)
⇒ a2 + b2 ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)
⇔ \(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\) ≥ 2
⇔\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ 2
Cô-Si là được rồi:v\(x+\dfrac{1}{x}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{x}}=2\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy- Schwarz:
\(\text{VT}=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{bc+bd}+\frac{c^2}{cd+ca}+\frac{d^2}{da+db}\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da+2ac+2bd}\)
Lại có:
\((a+b+c+d)^2=[(a+c)+(b+d)]^2=(a+c)^2+(b+d)^2+2(a+c)(b+d)\)
Áp dụng BĐT Am-Gm:
\((a+c)^2+(b+d)^2\geq 4ac+4bd\)
\(\Rightarrow (a+b+c+d)^2\geq 4ac+4bd+2(ab+bc+cd+da)\)
\(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{ab+bc+cd+da+2ac+2bd}\geq \frac{2(ab+bc+cd+da+2ac+2bd)}{ab+bc+cd+da+2ac+2bd}=2\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d>0\)
Bài 3:
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{2}{x^2+y^2}=2\left(\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\) \(\geq 2.\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}=\frac{8}{(x+y)^2}=8\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}=\frac{1}{2xy}+\left (\frac{1}{2xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\right)\geq \frac{1}{2xy}+\frac{(1+1)^2}{2xy+x^2+y^2}\)
\(=\frac{1}{2xy}+\frac{4}{(x+y)^2}\)
Theo BĐT AM-GM:
\(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{1}{2xy}\geq 2\)
Do đó \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}\geq 2+4=6\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Bài 1: Thiếu đề.
Bài 2: Sai đề, thử với \(x=\frac{1}{6}\)
Bài 4 a) Sai đề với \(x<0\)
b) Áp dụng BĐT AM-GM:
\(x^4-x+\frac{1}{2}=\left (x^4+\frac{1}{4}\right)-x+\frac{1}{4}\geq x^2-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2\geq 0\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^4=\frac{1}{4}\\ x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (vô lý)
Do đó dấu bằng không xảy ra , nên \(x^4-x+\frac{1}{2}>0\)
Bài 6: Áp dụng BĐT AM-GM cho $6$ số:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\geq 6\sqrt[6]{a^3b^3c^3d^3}=6\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)