Question

[HuyKabuto]

Chứng mjnh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho(1999^k  -1 ) chia hết cho104

Answer 1

[nguyen tien dung]

Ta đặt dãy số:

1999^1;1999^2;......;1999^104

Ta lấy tất cả các số trên chia cho 104, ta sẽ có ít nhất103 số dư

1;2;3;....;103( sẽ ko dư 0 vì 1999 và 104 nguyên tố cùng nhau nên 1999 mũ bao nhiêu cũng ko chia hết cho104 )

Mà dãy số trên có 104 số nên sẽ có ít nhất 2 số có cùng số dư

Gọi 2 số đó là 1999^a và 1999^b (a>b)

vì 1999^a và 1999^b chia cho 104 có cùng số dư nên 1999^a - 1999^b chia hết cho 104

1999^a - 1999^b chia hết cho 104

=> 1999^bx(1999^a-b -1)

mà UCLL(1999^b;104)=1 nên 1999^a-b -1 sẽ chia hết cho 104

vậy với k=a-b thì tôn tại 1999^k -1 chia hết cho 104