Question

[Duong Thi Nhuong]

Chứng minh vs \(\forall n\) nguyên dương thì \(S_n=1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

Answer 1

[Lightning Farron]

Ta có: \(\sqrt{a^3+b^3+c^3}=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}=a+b+c\)(với a,b,c dương)

=>với mọi n dương ta cũng viết biểu thức đc dưới dạng:

\(S_n=\left(1+2+3+...+n\right)^2\)

Đặt \(A=1+2+3+....+n\)

Tổng A có số số hạng theo n là:

\(\left(n-1\right):1+1=n\)(số)

Tổng A theo n là:

\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\).Thay A vào ta có:

\(\Rightarrow S_n=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)

Answer 2

[Lightning Farron]

Ta có công thức sau:

\(1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow\left(1+2+3+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\) (*)

\(\Leftrightarrow1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\) (1)

Cần chứng minh (1) đúng với mọi n dương

Với \(n=1;n=2\) thì đẳng thức đúng

Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\)

Nghĩa là: \(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)

Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\)

Viết lại đẳng thức cần chứng minh \(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\)(**)

Ta cũng có công thức tương tự (*)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(k+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(k^2+3k+2\right)^2-\left(k^2+k\right)^2=4\left(k+1\right)^3\)

\(\Leftrightarrow4k^3+12k^2+12k+4=4\left(k+1\right)^3\)

Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.