Question

[Hatsune Miku]

Chứng minh với 3 số a , b , c tùy ý , ta có :

a² + b² + 1 \(\ge\)ab + a + b

Answer 1

[Trí Tiên]

Ta có : \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

\(\Rightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)

Answer 2

[Trí Tiên]

Cách khác : Dùng HĐT quen thuộc :

\(a^2+1\ge2a\)

\(b^2+1\ge2b\)

\(a^2+b^2\ge2ab\)

Cộng các vế của BĐT, rồi chia 2 ta được BĐT cần chứng minh.