TC
6
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
CT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2020
Đặt \(f\left(x\right)=x^2y^4-4xy^3+2x^2y^2+4y^2+4xy+x^2\)
\(f\left(x\right)=\left(y^4+2y^2+1\right)x^2-4\left(y^3-y\right)x+4y^2\)
\(a=y^4+2y^2+1>0;\forall y\)
\(\Delta'=4\left(y^3-y\right)^2-4y^2\left(y^4+2y^2+1\right)\)
\(=4y^6+4y^2-8y^4-4y^6-8y^4-4y^2=-16y^4\le0;\forall y\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge0\) ; \(\forall x;y\)
CT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 6 2020
Đặt \(f\left(x\right)=25x^2+25y^2+9x^2+16y^2+144-72x-96y+24xy-72\)
\(=34x^2+41y^2-72x-96y+24xy+72\)
\(=34x^2+2\left(12y-36\right)x+41y^2-96y+72\)
\(a=34>0\)
\(\Delta'=\left(12y-36\right)^2-34\left(41y^2-96y+72\right)\)
\(=-1250y^2+2400y-1152=-2\left(25y-24\right)^2\le0;\forall y\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\ge0;\forall x;y\)
6 tháng 1 2018
Trước tiên ta cần chứng minh:
\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\left(\forall x;y\right)\)(1)
Ở BĐT này có nhiều cách giải nhưng em giải cách thông thường thôi
BĐT(1) tương đương \(\left(x^4-x^3y\right)+\left(y^4-xy^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^3\left(x-y\right)-y^3\left(x-y\right)\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x^2+xy+y^2\right)\)\(\ge0\left(\forall x;y\right)\)(tự cm nhé)
\(\dfrac{x^4+y^4}{2}\ge\dfrac{x+y}{2}.\dfrac{x^3+y^3}{2}\Leftrightarrow\dfrac{2\left(x^4+y^4\right)}{4}\ge\dfrac{(x^4+y^4)+(x^3y+xy^3)}{4}\)( luôn đúng như trên)
\(\Rightarrowđpcm\)
DA
1
DA
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 2 2020
\(x^2+3+\frac{1}{x^2+3}=\frac{x^2+3}{9}+\frac{1}{x^2+3}+\frac{8\left(x^2+3\right)}{9}\ge2\sqrt{\frac{x^2+3}{9\left(x^2+3\right)}}+\frac{8.\left(0+3\right)}{9}=\frac{10}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\)
PT
2
14 tháng 1 2021
\(x^2-4xy+5y^2+2x-8y+5=\left(x-2y+1\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\forall x,y\).
14 tháng 1 2021
x2 - 4xy + 5y2 + 2x - 8y + 5
= x2 + 4y2 + 1 - 4xy + 2x - 4y + y2 - 2y + 1
= (x - 2y + 1)2 + (y - 1)2 ≥ 0
4x2+4y2+4xy>6y−4(1)4x2+4y2+4xy>6y-4(1)
⇔4x2+4y2+4xy−6y+4>0(2)⇔4x2+4y2+4xy-6y+4>0(2)
⇔4x2+4xy+y2+3y2−6y+3+1>0⇔4x2+4xy+y2+3y2-6y+3+1>0
⇔(2x+y)2+3(y2−2y+1)+1>0⇔(2x+y)2+3(y2-2y+1)+1>0
⇔(2x+y)2+3(y−1)2+1>0⇔(2x+y)2+3(y-1)2+1>0
+)(2x+y)2≥0+)(2x+y)2≥0
3(y−1)2≥03(y-1)2≥0
→(2x+y)2+3(y−1)2≥0→(2x+y)2+3(y-1)2≥0
→(2x+y)2+3(y−1)2+1≥1>0→(2x+y)2+3(y-1)2+1≥1>0
BĐT(2) luôn đúng
→→ BĐT(1) luôn đúng
Vậy 4x2+4y2+4xy>6y−4
Ta có 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy4x2+4y2+6x+3≥4xy
\Leftrightarrow (x^2 - 4xy + 4y^2) + 3(x^2 + 2x +1) \ge 0⇔(x2−4xy+4y2)+3(x2+2x+1)≥0
\Leftrightarrow (x-2y)^2 + 3(x +1)^2 \ge 0⇔ (x−2y)2+3(x +1)2≥0 (luôn đúng với mọi xx, yy).
Vậy với mọi xx, yy ta có 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy4x2+4y2+6x+3≥4xy.