Giả sử $x+y+xy=-1$.

$\Rightarrow x+y+xy+1=0\iff (x+1)(y+1)=0$

\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x + 1 = 0\\ &y + 1 = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = -1\\ &y = -1 \end{aligned} \right.⇔[​x+1=0y+1=0 ​  ⇔[​x =−1y=−1​  (mâu thuẫn với giả thiết).

Vậy nếu $x\ne -1$ và $y\ne -1$ thì $x+y+xy\ne -1$.

Ta có $4x^2+4y^2+6x+3\ge 4xy$

$\iff (x^2-4xy+4y^2)+3(x^2+2x+1)\ge 0$

$\iff (x-2y{)}^2+3(x+1{)}^2\ge 0$ (luôn đúng với mọi $x$, $y$).

Vậy với mọi $x$, $y$ ta có $4x^2+4y^2+6x+3\ge 4xy$.

Ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{ax+by}{2}\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{2}.\genfrac{}{}{0ex}{}{x+y}{2}$

$\iff 2(ax+by)\ge (a+b)(x+y)$

$\iff 2(ax+by)\ge ax+ay+bx+by$

$\iff ax+by-ay-bx\ge 0$

$\iff (a-b)(x-y)\ge 0$ (luôn đúng vì giả thiết $a\ge b$ và $x\ge y$).

Vậy nếu $a\ge b$, $x\ge y$ thì $\genfrac{}{}{0ex}{}{ax+by}{2}\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{2}.\genfrac{}{}{0ex}{}{x+y}{2}$.

Ta có $\genfrac{}{}{0ex}{}{ax+by}{2}\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{2}.\genfrac{}{}{0ex}{}{x+y}{2}$

$\iff 2(ax+by)\ge (a+b)(x+y)$

$\iff 2(ax+by)\ge ax+ay+bx+by$

$\iff ax+by-ay-bx\ge 0$

$\iff (a-b)(x-y)\ge 0$ (luôn đúng vì giả thiết $a\ge b$ và $x\ge y$).

Vậy nếu $a\ge b$, $x\ge y$ thì $\genfrac{}{}{0ex}{}{ax+by}{2}\ge \genfrac{}{}{0ex}{}{a+b}{2}.\genfrac{}{}{0ex}{}{x+y}{2}$.

$4x^2+4y^2+4xy>6y-4\left(1\right)$

$\iff 4x^2+4y^2+4xy-6y+4>0\left(2\right)$

$\iff 4x^2+4xy+y^2+3y^2-6y+3+1>0$

$\iff {(2x+y)}^2+3(y^2-2y+1)+1>0$

$\iff {(2x+y)}^2+3{(y-1)}^2+1>0$

$+){(2x+y)}^2\ge 0$

$3{(y-1)}^2\ge 0$

$\to {(2x+y)}^2+3{(y-1)}^2\ge 0$

$\to {(2x+y)}^2+3{(y-1)}^2+1\ge 1>0$

BĐT(2) luôn đúng

$\to$ BĐT(1) luôn đúng

Vậy $4x^2+4y^2+4xy>6y-4$

Nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $n=3k$ với $k\in \mathbb{N}$.

=>Xét $k=2m$ thì $n=6m$ suy ra $n(n+1)=6m(6m+1)$ chia hết cho $6$.

=> Xét $k=2m+1$ thì $n=3(2m+1)=6m+3$.

Suy ra $n(n+1)=(6m+3)(6m+4)=3.(2m+1).2(3m+2)=6.(2m+1).(3m+2)$ chia hết cho $6$.

Vậy với mọi số tự nhiên $n$, nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $n(n+1)$ chia hết cho $6$.

ếu $n$ chia hết cho $3$ thì $n=3k$ với $k\in \mathbb{N}$.

 Xét $k=2m$ thì $n=6m$ suy ra $n(n+1)=6m(6m+1)$ chia hết cho $6$.

 Xét $k=2m+1$ thì $n=3(2m+1)=6m+3$.

Suy ra $n(n+1)=(6m+3)(6m+4)=3.(2m+1).2(3m+2)=6.(2m+1).(3m+2)$ chia hết cho $6$.

Xét tam giác ABC không phải tam giác đều

Nếu không có góc nào nhỏ hơn 60 độ thì ta có : 

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}\ge {60}^0+{60}^0+{60}^0\ge {180}^0$

dấu bằng chỉ xảy ra khi cả ba góc bằng 60 độ mâu thuẫn với giả thiết ABC không phải tam giác đều

vậy phải có ít nhất một góc nhỏ hơn 60 độ

Ta có n² = n.n

mà n² chẵn 

=> n.n chẵn 

=> n.n $⋮$2

=> có ít nhất 1 số chia hết cho 2 

 mà n = n  => n $⋮$2 => n chẵn (đpcm)

nếu n lẻ thì n^3 lẻ
n lẻ <=>n =2k +1 (k ∈Z)
n^3 =(2k +1)^3 =8k^3 +3.4k^2 +3.2k +1
=2( 4k^3 +6k^2 +3 k) +1
2( 4k^3 +6k^2 +3 k) là số chẵn ;
2( 4k^3 +6k^2 +3 k) +1 là số lẻ => n^3 lẻ