Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Theo bđt cauchy ta có:
\(a^3+b^3+b^3\ge3\sqrt[3]{a^3.b^6}=3ab^2\)
\(a^3+a^3+b^3\ge3a^2b\)
công vế theo vế ta có \(3\left(a^3+b^3\right)\ge3ab^2+3a^2b\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3\left(a^3+b^3\right)\ge a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
\(\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)
suy ra đpcm
ta luôn có \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(a^2+b^2\right)}{4}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a^2+b^2\right)}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2^2}=\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
suy ra đpcm
Cho \(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{ab}{cd}\) với ( với a, b, c, d khác 0, và c \(\ne\pm d\) ). Chứng minh rằng hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}\) ?
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a-b}{c-d}\\\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(\dfrac{a}{c}\right)^2=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\\\left(\dfrac{a}{c}\right)^2=\dfrac{ab}{cd}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{\left(c-d\right)^2}\)
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{d}=k\Leftrightarrow a=bk;b=dk\Leftrightarrow a=bk=dk^2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{d}=\dfrac{dk^2}{d}=k^2\\\dfrac{a^2+b^2}{b^2+d^2}=\dfrac{d^2k^4+d^2k^2}{d^2k^2+d^2}=\dfrac{d^2k^2\left(k^2+1\right)}{d^2\left(k^2+1\right)}=k^2\end{matrix}\right.\\ \LeftrightarrowĐpcm\)
ta có : \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}\Leftrightarrow ab=c^2\)
khi đó ta có : \(\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{b^2-a^2}{a^2+c^2}\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a^2+ab}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a\left(a+b\right)}\Leftrightarrow\dfrac{b-a}{a}=\dfrac{b-a}{a}\) (luôn đúng)
\(\Rightarrow\) (đpcm)
ta có \(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{ab}{cd}\Rightarrow ab.\left(c^2+d^2\right)=cd.\left(a^2+b^2\right)\)
suy ra \(ab.\left(c^2+d^2\right)\)=\(abc^2+abd^2=acbc+adbd\) (1)
\(cd\left(a^2+b^2\right)=a^2cd+b^2cd+bcbd\) =acad+bcbd (2)
(1);(2) suy ra acbc+adbd=acad+bcbd
nên bc+ad=bc+ad
suy ra ad=bc nên \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
a,Từ \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{b}\)⇒\(c^2=a.b\)
Khi đó \(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\dfrac{a^2+a.b}{b^2+a.b}\\ =\dfrac{a\left(a+b\right)}{b\left(a+b\right)}\)
b,Ta có:
\(\dfrac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\dfrac{a}{b}\Rightarrow\dfrac{b^2+c^2}{a^2+c^2}=\dfrac{a}{b}\\ \dfrac{a^2+c^2}{b^2+c^2}=\dfrac{b}{a}\Rightarrow\dfrac{b^2+c^2}{a^2+c^2}-1=\dfrac{b}{a}-1\\ hay\dfrac{b^2+c^2-a^2-c^2}{a^2+c^2}=\dfrac{b-a}{a}\)
Vậy \(\dfrac{b^2-a^2}{a^2+c^2}=\dfrac{b-a}{a}\)
Theo đề bài ta có :
\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
Đặt \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=k\) ( 1 )
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(k=\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}\)
\(k^2=\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\) ( 2 )
Mà từ ( 1 ) = > \(k^2=\dfrac{a}{c}.\dfrac{b}{d}=\dfrac{ab}{cd}\) ( 3 )
Từ ( 2 ) , ( 3 )
= > \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\) ( đpcm )
Sửa lại đề chỗ kia là \(\dfrac{b}{a}\) chứ không phải \(\dfrac{b}{b}\) nhé.
Đặt \(\dfrac{a}{b}=t>0\) . Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương:
\(t^2+\dfrac{1}{t^2}\ge t+\dfrac{1}{t}\)
\(\Leftrightarrow t^2+\dfrac{1}{t^2}+2\ge t+\dfrac{1}{t}+2\)
\(\Leftrightarrow\left(t+\dfrac{1}{t}\right)^2\ge t+\dfrac{1}{t}+2\) (*)
Đặt \(u=t+\dfrac{1}{t}\left(u\ge2\right)\), khi đó (*) tương đương:
\(u^2-u-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow u^2+u-2u-2\ge0\)
\(\Leftrightarrow u\left(u+1\right)-2\left(u+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(u+1\right)\left(u-2\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(u\ge2\))
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow u=2\) \(\Leftrightarrow t+\dfrac{1}{t}=2\) \(\Leftrightarrow t=1\) \(\Leftrightarrow a=b\)
Vậy ta có đpcm.
Nãy mình nhìn nhầm đề, xin lỗi bạn nhiều. Cách trình bày vẫn như vậy nhé.