Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.Vì số chính phương bằng bình phương của một số tự nhiên nên có thể thấy ngay số chính phương phải có chữ số tận cùng là một trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9
2.
Một số chính phương được gọi là số chính phương chẵn nếu nó là bình phương của một số chẵn, là số chính phương lẻ nếu nó là bình phương của một số lẻ. (Nói một cách khác, bình phương của một số chẵn là một số chẵn, bình phương của một số lẻ là một số lẻ)
Xét các số nguyên tố lớn hơn \(3\):
Khi đó các số nguyên tố là số lẻ và chia cho \(3\)dư \(1\)hoặc \(2\).
Chọn \(5\)số nguyên tố bất kì, khi đó luôn tồn tại ít nhất \(3\)số có cùng số dư khi chia cho \(3\).
Gọi \(3\)số đó là \(a,b,c\).
Khi đó \(a-b⋮3,b-c⋮3,c-a⋮3\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮3^3\).
cũng có: \(a-b⋮2,b-c⋮2,c-a⋮2\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮2^3\)
Do đó ta có: \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮\left(2^3.3^3\right)\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)⋮216\).
Khi kể thêm \(2\)số nguyên tố \(2\)và \(3\)ta có đpcm.
Tham khảo bài này :
cách 1:
xét 3^k.
chọn k từ 1 đến 999 ta được dãy số
3; 3² ; 3³;...; 3^999
999 số trên khi chia cho 1000 sẽ được 999 số dư
(0,1...999)
xét 2 trh:
trh 1: số dư của các số trong dãy đôi một khác nhau
=> tồn tại một số trong dãy chia 1000 dư 1
=> 3^a -1 chia hết 1000
=> đpcm
trh2: số dư của các số trong dãy không khác nhau đôi một
=> sẽ có it nhất 2 số đồng dư
2 số đó là: 3^m và 3ⁿ (1≤m<n≤999)
=> hiệu của 2 số này chia hết cho 1000
=> 3ⁿ - 3^m = h.1000
mà: 3ⁿ - 3^m = 3^m.(3^(n-m) -1)
lại có: 3^m không chia hết cho 1000
=> 3^(n-m) - 1 chia hết cho 1000
mà 1≤m<n≤999 => 0 ≤ n - m ≤ 999
=> đpcm
vậy tồn tại số k thuộc N sao cho 3^k-1 chia hết 1000
.......... .......
cách 2:
xét k= 2n (n chẵn)
A= 3^(2n) -1
A= (10-1)^n -1
khai triển nhị thức ta đc:
A= 10ⁿ - 1Cn.10^(n-1) + 2Cn.10^(n-2) +...+ (n-2)Cn.10^2 - (n-1)Cn.10 +1 -1
A= 1000.[10^(n-2) -.....(n-3)Cn] + 100.n.(n+1)\2 - 10n
lấy n= 100m
=>B= n.(n+1)\2.100 - 10n
=>B= 1000.(50.101m -m)
=> A chia hết 1000 khi k= 200m
TA có số chính phương chia 4 có số dư là 0 hoặc 1
có 3 số mà chỉ có 2 số dư, theo nguyên lí dirichlet, ta có tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 4
=> hiệu 2 số đó sẽ chia hết cho 4
^.^