Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh rằng: tích của một số chính phương với số tự nhiên đứng liền trước nó thì chia hết cho 12
gọi số chính phương bất kỳ là \(a^2\)khi đó số tự nhiên liền trước nó là
\(a^2-1\)
xét tích 2 số ta được \(a^2\left(a^2-1\right)=a^2\left(a-1\right)\left(a+1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)a\)
lại có
\(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)là tích 3 STN liên tiếp nên chia hết cho 3
a(a-1) là tích 2 STN liên tiếp nên chia hết cho 2
a(a+1) là tích 2 STN liên tiếp nên chia hết cho 2
vậy a(a-1)(a+1)a chia hết cho UCLN(2,2,3)=12
Gọi 2 số chính phương liên tiếp đó là \(n^2,\left(n+1\right)^2\). Ta có:
\(P=n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)
\(=n^2+n^2+2n+1+n^2\left(n^2+2n+1\right)\)
\(=n^4+2n^3+3n^2+2n+1\)
Ta có \(\dfrac{P}{n^2}=n^2+2n+3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\)
\(=\left(n+\dfrac{1}{n}\right)^2+2\left(n+\dfrac{1}{n}\right)+1\)
\(=\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)^2\)
\(\Rightarrow P=\left[n\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)\right]^2=\left(n^2+n+1\right)^2=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)
Dễ dàng kiểm chứng được \(2|n\left(n+1\right)\), do đó \(n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ, suy ra đpcm.
Hai số chính phương liên tiếp là \(n^2;\left(n+1\right)^2\)
Theo đề ta có :
\(n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)
\(=n^2+n^2+2n+1+n^4+2n^3+n^2\)
\(=\left(n^4+n^3+n^2\right)+\left(n^3+n^2+n\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)
\(=\left(n^2+n+1\right)^2\)
\(=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)
mà \(n\left(n+1\right)⋮2\) (là 2 số tự nhiên liên tiếp)
\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ
\(\Rightarrow\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\) là số chính phương lẻ
\(\Rightarrow dpcm\)
Gọi 2 số chính phương liên tiếp là a2 và (a + 1)2
Ta có: \(A=a^2+\left(a+1\right)^2+a^2\left(a+1\right)^2\)
\(=\left[a\left(a+1\right)\right]^2+2a^2+2a+1\)
\(=\left[a\left(a+1\right)\right]^2+2a\left(a+1\right)+1=\left[a\left(a+1\right)+1\right]^2\)
Ta thấy \(a\left(a+1\right)+1\) là số lẻ nên A là số chính phương lẻ (đpcm)
A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4
A=(x+y)(x+4y).(x+2y)(x+3y)+y4
A=(x2+5xy+4y2)(x2+5xy+6y2)+y4
A=(x2+5xy+ 5y2 - y2 )(x2+5xy+5y2+y2)+y4
A=(x2+5xy+5y2)2-y4+y4
A=(x2+5xy+5y2)2
Do x,y,Z nen x2+5xy+5y2 Z
A là số chính phương
a) Ta có: A= (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y2
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = h ( h thuộc Z):
A = ( h - y2)( h + y2) + y2 = h2 – y2 + y2 = h2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
Vì x, y, z thuộc Z nên x2 thuộc Z, 5xy thuộc Z, 5y2 thuộc Z . Suy ra x2 + 5xy + 5y2 thuộc Z
Vậy A là số chính phương.
\(\text{Gọi số chính phương là a}^2\text{ }\)
\(\text{Ta có: }a^2\left(a^2-1\right)=a.a.\left(a+1\right).\left(a-1\right)\)
\(\text{Vì }\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\text{ là tích 3 số tự nhiên liên tiếp}\Rightarrow a^2\left(a^2-1\right)⋮3\)
\(\text{Vì }\left\{{}\begin{matrix}a\left(a-1\right)\text{ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp}\\a\left(a+1\right)\text{ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\left(a-1\right)⋮2\\a\left(a+1\right)⋮2\end{matrix}\right.\Rightarrow a^2\left(a^2-1\right)⋮4\)
\(\text{Mà }\left(3;4\right)=1\)
\(\Rightarrow a^2\left(a^2-1\right)⋮12\)