TC
7
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
28 tháng 2 2021
Áp dụng BĐT cosi ta có:
`x^6+y^6+z^6>=3root{3}{x^6y^6z^6}=3x^2y^2z^2`
`=>3x^2y^2z^2<=3`
`=>x^2y^2z^2<=1`
`=>xyz<=1`
`=>(x^3)/(yz)+(y^3)/(zx)+(z^3)/(xy)`
`=(x^4)/(xyz)+(y^4)/(xyz)+(z^4)/(xyz)>=x^4+y^4+z^4(@)`
Áp dụng BĐT bunhia với 2 cặp số `(x^2,y^2,z^2),(x,y,z)`
`=>(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=(x^3+y^3+z^3)^3`
Mà `(x^3+y^3+z^3)^2>=3(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)`
`=>(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=3(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)(@@)`
Áp dụng BĐT cosi ta có:
`x^6+1+1>=3root{3}{x^6}=3x^2`
`y^6+1+1>=3y^2`
`z^6+1+1>=3z^2`
`=>x^6+y^6+z^6+6>=3(x^2+y^2+z^2)`
`=>9>=3(x^2+y^2+z^2)`
`=>x^2+y^2+z^2<=3`
Kết hợp với `(@@)`
`=>(x^2+y^2+z^2)(x^4+y^4+z^4)>=(x^2+y^2+z^2)(x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3)`
`=>x^4+y^4+z^4>=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3`
Kếp hợp với `(@)`
`=>(x^3)/(yz)+(y^3)/(zx)+(z^3)/(xy)>=x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3`
Dấu = xảy ra khi `x=y=z=1`
8 tháng 12 2023
Có \(VT=\dfrac{x^2}{x^3-xyz+2013x}+\dfrac{y^2}{y^3-xyz+2013y}+\dfrac{z^2}{z^3-xyz+2013z}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2013\left(x+y+z\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)\left[x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)\right]+2013\left(x+y+z\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2-\left(xy+yz+zx\right)+3\left(xy+yz+zx\right)}\)
(vì \(2013=3.671=3\left(xy+yz+zx\right)\))
\(=\dfrac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+z}{\left(x+y+z\right)^2}\)
\(=\dfrac{1}{x+y+z}\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^2-yz+2013}=\dfrac{1}{y^2-zx+2013}=\dfrac{1}{z^2-xy+2013}\)
\(\Leftrightarrow x^2-yz=y^2-zx=z^2-xy\)
\(\Leftrightarrow x=y=z\) (với \(x,y,z>0\))
Vậy ta có đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 5 2020
\(VT=\sum\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+2xy+y^2\right)+\frac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)}\)
\(VT\ge\sum\sqrt{\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2}=\sum\sqrt{\frac{5}{4}\left(x+y\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(z+x\right)\)
\(VT\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)=\sqrt{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 7 2019
Lời giải:
Ta thấy:
\(x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x^2+2xy+y^2)+\frac{1}{4}(x^2-2xy+y^2)=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\)
\(\geq \frac{3}{4}(x+y)^2\) với mọi $x,y>0$
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\sqrt{y^2+yz+z^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(y+z); \sqrt{z^2+zx+x^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+z)\)
Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn:
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+xz+x^2}\geq \sqrt{3}(x+y+z)\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
TN
26 tháng 2 2018
\(VT=\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\)
\(\ge\frac{3x}{y+z+1}+\frac{3y}{x+z+1}+\frac{3z}{x+y+1}\)
\(=\frac{3x^2}{xy+xz+x}+\frac{3y^2}{xy+yz+y}+\frac{3z^2}{xz+yz+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x^2+y^2+z^2}\)
\(\ge\frac{3\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=3=x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=VP\)
Dấu "=" <=> x=y=z=1
KN
23 tháng 5 2020
Với x, y, z dương, ta cần chứng minh: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\)\(\ge\sqrt{3}\left(x+y+z\right)\)(1)
Phân tích: Trong BĐT (1), các biến được hoán vị vòng quanh và đẳng thức xảy ra khi x = y = z. Ta chọn được các số n, m để có bất đẳng thức \(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge nx+my\)(2)
Tương tự rồi cộng theo vế, ta được: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\)\(\ge\left(m+n\right)\left(x+y+z\right)\)
Nhìn vào BĐT cần chứng minh ta thấy nếu tìm được cặp (n,m) thì lời giải thành công. Thế \(m=\sqrt{3}-n\)vào (2), ta có:
\(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge nx+\left(\sqrt{3}-n\right)y\)\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\frac{x}{y}\right)^2+\left(\frac{x}{y}\right)+1}\ge n.\left(\frac{x}{y}\right)+\left(\sqrt{3}-n\right)\)(3)
Đặt \(t=\frac{x}{y}\)BĐT (3) trở thành \(\sqrt{t^2+t+1}\ge nt+\sqrt{3}-n\)(4)
Do đẳng thức xảy ra khi x = y nên t = 1 ta phân tích (4) về nhân tử (t - 1)
Ta có: \(\left(4\right)\Leftrightarrow\left(\sqrt{t^2+t+1}-\sqrt{3}\right)-n\left(t-1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left[\frac{t+2}{\sqrt{t^2+1+1}+\sqrt{3}}-n\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow n\le\frac{t+2}{\sqrt{t^2+t+1}+\sqrt{3}}\). Đồng nhất t = 1, ta được: \(n=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow m=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Lúc đó ta có BĐT phụ: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}x+\sqrt{3}y}{2}\)
Giải: Xét BĐT phụ \(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}x+\sqrt{3}y}{2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)*đúng*
Tương tự cho các BĐT còn lại, ta được: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\)
\(\ge\frac{\sqrt{3}\left(x+y+z\right)+\sqrt{3}\left(x+y+z\right)}{2}=\sqrt{3}\left(x+y+z\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z.
23 tháng 5 2020
Thật ra bài này không cần giãi kĩ như mình đây, bước đầu là bước nháp của mình, ghi luôn để các bạn hiểu tại sao lại có BĐT phụ thế kia
Nhưng bạn có thể làm 1 cách dễ hơn mà ko cần phải bỏ nhiều công sức nháp
Có: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{\left(x+y\right)^2-xy}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}\left(x+y\right)}{2}\)
Đến đây tương tự rồi cộng lại, Done.
2 tháng 1 2018
Ta có : Áp dụng BĐT Cauchy ba số ở mẫu ta được
\(\dfrac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\dfrac{y}{\sqrt[3]{xz}}+\dfrac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge\dfrac{x}{\dfrac{y+z+1}{3}}+\dfrac{y}{\dfrac{x+z+1}{3}}+\dfrac{z}{\dfrac{x+y+1}{3}}=\dfrac{3x}{y+z+1}+\dfrac{3y}{x+z+1}+\dfrac{3z}{x+y+1}\)Thấy: \(xy+yz+xz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\left(?!\right)\)
Ta phải chứng minh:
\(\dfrac{3x}{y+z+1}+\dfrac{3y}{x+z+1}+\dfrac{3z}{x+y+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)
\(\dfrac{x}{y+z+1}+\dfrac{y}{x+z+1}+\dfrac{z}{x+y+1}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{9}\)
Mà \(\dfrac{x}{y+z+1}+\dfrac{y}{x+z+1}+\dfrac{z}{x+y+1}=\dfrac{x^2}{xy+xz+x}+\dfrac{y^2}{xy+yz+y}+\dfrac{z^2}{xz+yz+z}\)
Theo C.B.S
\(\dfrac{x^2}{xy+xz+x}+\dfrac{y^2}{xy+yz+y}+\dfrac{z^2}{xz+yz+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\)
Phải chứng minh
\(\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{9}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{1}{9}\)
Ta có : \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2=3\)
Theo C.B.S : \(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z\le9\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2\left(xy+yz+xz\right)+x+y+z}\ge\dfrac{1}{9}\)
=> ĐPCM
Xét \(\hept{\begin{cases}4x^2+z^2\ge4xz\\4y^2+z^2\ge4yz\\2x^2+2y^2\ge4xy\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow2\left(3x^2+3y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow3x^2+3y^2+z^2\ge10\)
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)và \(z=2\)