Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với x, y, z dương, ta cần chứng minh: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\)\(\ge\sqrt{3}\left(x+y+z\right)\)(1)
Phân tích: Trong BĐT (1), các biến được hoán vị vòng quanh và đẳng thức xảy ra khi x = y = z. Ta chọn được các số n, m để có bất đẳng thức \(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge nx+my\)(2)
Tương tự rồi cộng theo vế, ta được: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\)\(\ge\left(m+n\right)\left(x+y+z\right)\)
Nhìn vào BĐT cần chứng minh ta thấy nếu tìm được cặp (n,m) thì lời giải thành công. Thế \(m=\sqrt{3}-n\)vào (2), ta có:
\(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge nx+\left(\sqrt{3}-n\right)y\)\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\frac{x}{y}\right)^2+\left(\frac{x}{y}\right)+1}\ge n.\left(\frac{x}{y}\right)+\left(\sqrt{3}-n\right)\)(3)
Đặt \(t=\frac{x}{y}\)BĐT (3) trở thành \(\sqrt{t^2+t+1}\ge nt+\sqrt{3}-n\)(4)
Do đẳng thức xảy ra khi x = y nên t = 1 ta phân tích (4) về nhân tử (t - 1)
Ta có: \(\left(4\right)\Leftrightarrow\left(\sqrt{t^2+t+1}-\sqrt{3}\right)-n\left(t-1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left[\frac{t+2}{\sqrt{t^2+1+1}+\sqrt{3}}-n\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow n\le\frac{t+2}{\sqrt{t^2+t+1}+\sqrt{3}}\). Đồng nhất t = 1, ta được: \(n=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow m=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Lúc đó ta có BĐT phụ: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}x+\sqrt{3}y}{2}\)
Giải: Xét BĐT phụ \(\sqrt{x^2+xy+y^2}\ge\frac{\sqrt{3}x+\sqrt{3}y}{2}\)(*)
Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)*đúng*
Tương tự cho các BĐT còn lại, ta được: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+zx+x^2}\)
\(\ge\frac{\sqrt{3}\left(x+y+z\right)+\sqrt{3}\left(x+y+z\right)}{2}=\sqrt{3}\left(x+y+z\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z.
Thật ra bài này không cần giãi kĩ như mình đây, bước đầu là bước nháp của mình, ghi luôn để các bạn hiểu tại sao lại có BĐT phụ thế kia
Nhưng bạn có thể làm 1 cách dễ hơn mà ko cần phải bỏ nhiều công sức nháp
Có: \(\sqrt{x^2+xy+y^2}=\sqrt{\left(x+y\right)^2-xy}\)
\(\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2-\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}\left(x+y\right)}{2}\)
Đến đây tương tự rồi cộng lại, Done.
\(VT=\sum\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+2xy+y^2\right)+\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}\)
\(VT\ge\sum\sqrt{\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{4}\left(x+y\right)^2}\)
\(VT\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x+y\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(y+z\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\left(z+x\right)=\sqrt{3}\left(x+y+z\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
a) Giả sử \(x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\frac{1}{3}.3\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2-xy+y^2\right)\ge x^2+xy+y^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2-3xy+3y^2-x^2-xy-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^2-4xy+2y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng với mọi \(x,y\in R\)).
Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow x=y\).
Vậy \(x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)\)với \(x,y\in R\).
Đặt \(A=\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\left(x,y,z>0\right)\)
Và đặt \(B=\frac{y\sqrt{y}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{z\sqrt{z}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{x\sqrt{x}}{z+\sqrt{zx}+x}\left(x,y,z>0\right)\)
Đặt \(\sqrt{x}=m,\sqrt{y}=n,\sqrt{z}=p\left(m,n,p>0\right)\)thì theo đề bài : \(m+n+p=2\)
Lúc đó:
\(A=\frac{m^2.m}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^2.n}{n^2+np+p^2}+\frac{p^2.p}{p^2+pm+m^2}\)
\(A=\frac{m^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3}{p^2+pm+m^2}\)
Và \(B=\frac{n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{m^3}{p^2+pm+m^2}\)
Xét hiệu \(A-B=\frac{m^3-n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3-p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3-m^3}{p^2+pm+m^2}\)
\(\Leftrightarrow A-B=\frac{\left(m-n\right)\left(m^2+mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}+\frac{\left(n-p\right)\left(n^2+np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\)\(+\frac{\left(p-m\right)\left(p^2+pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}\)
\(\Leftrightarrow A-B=\left(m-n\right)+\left(n-p\right)+\left(p-m\right)\)
\(\Leftrightarrow A-B=m-n+n-p+p-m=0\)
\(\Leftrightarrow A=B\)
Xét \(A+B=\frac{m^3+n^3}{m^2+mn+n^2}+\frac{n^3+p^3}{n^2+np+p^2}+\frac{p^3+m^3}{p^2+pm+m^2}\)
\(\Leftrightarrow A+A=2A=\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+m+n^2}+\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\)\(\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}\)
Theo câu a), ta có \(x^2-xy+y^2\ge\frac{1}{3}\left(x^2+xy+y^2\right)\)với \(x,y\in R\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}\ge\frac{1}{3}\left(1\right)\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
Áp dụng bất đẳng thức (1) (với \(m,n>0\)), ta được:
\(\frac{m^2-mn+n^2}{m^2+mn+n^2}\ge\frac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}\ge\frac{m+n}{3}\left(2\right)\)
Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow m=n>0\)
Chứng minh tương tự, ta được:
\(\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\ge\frac{n+p}{3}\left(3\right)\)
Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow n=p>0\)
\(\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2+pm+m^2}\ge\frac{p+m}{2}\left(4\right)\)
Dấu bằng xảy ra\(\Leftrightarrow p=m>0\)
Từ \(\left(2\right),\left(3\right),\left(4\right)\), ta được:
\(\frac{\left(m+n\right)\left(m^2-mn+n^2\right)}{m^2+mn+n^2}+\frac{\left(n+p\right)\left(n^2-np+p^2\right)}{n^2+np+p^2}\)\(+\frac{\left(p+m\right)\left(p^2-pm+m^2\right)}{p^2-pm+m^2}\ge\frac{m+n}{3}+\frac{n+p}{3}+\frac{p+m}{3}\)
\(\Leftrightarrow2A\ge\frac{m+n+n+p+p+m}{3}\)
\(\Leftrightarrow2A\ge\frac{2\left(m+n+p\right)}{3}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{m+n+p}{3}\)
\(\Leftrightarrow A\ge\frac{2}{3}\)(vì \(m+n+p=2\)) (điều phải chứng minh).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=n=p>0\\m+n+p=2\end{cases}}\Leftrightarrow m=n=p=\frac{2}{3}\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{y}=\sqrt{z}=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{4}{9}\)
Vậy nếu \(x,y,z>0\) và \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2\)thì: \(\frac{x\sqrt{x}}{x+\sqrt{xy}+y}+\frac{y\sqrt{y}}{y+\sqrt{yz}+z}+\frac{z\sqrt{z}}{z+\sqrt{zx}+x}\ge\frac{2}{3}\).
Ta có:
\(1+x^2=xy+yz+zx+x^2=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\)
\(1+y^2=xy+yz+xz+y^2=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\)
\(1+z^2=xy+yz+xz+z^2=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)
Thay vào A được:
\(P=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+y\sqrt{\frac{\left(x+z\right)\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}\)\(+z\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\)
\(=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}+y\sqrt{\left(x+z\right)^2}+z\sqrt{\left(x+y\right)^2}\)
\(=x\left(y+z\right)+y\left(x+z\right)+z\left(x+y\right)\)
\(=xy+xz+xy+yz+xz+zy\)
\(=2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(=2\)(do xy+yz+xz=1)
=>Đpcm
Dạng toán này rất nhiều bạn hỏi rồi: thay \(xy+yz+zx=1\) vào các căn thức rồi phân tích đa thức thành nhân tử.
Ta có \(1+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(x+y\right)\)
Khi đó BĐT <=>
\(\frac{1}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(y+z\right)\left(x+z\right)}+\frac{1}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{2}{3}\left(\frac{x}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(x+y\right)}}+...\right)\)
<=> \(\frac{x+y+z}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}}\right)^3\)
<=>\(\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(x\sqrt{y+z}+y\sqrt{x+z}+z\sqrt{x+y}\right)^3\)
<=> \(\left(x+y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\right)^3\)(1)
Xét \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\ge\frac{8}{9}\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\)
<=> \(9\left[xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)+2xyz\right]\ge8\left(xy\left(x+y\right)+xz\left(x+z\right)+yz\left(y+z\right)+3xyz\right)\)
<=> \(xy\left(y+x\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(x+z\right)\ge6xyz\)
<=> \(x\left(y-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2+y\left(x-z\right)^2\ge0\)luôn đúng
Khi đó (1) <=>
\(\left(x+y+z\right).\frac{2\sqrt{2}}{3}.\sqrt{x+y+z}\ge\frac{1}{3}\left(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+....\right)^3\)
<=> \(\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\ge\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\)
Áp dụng buniacopxki cho vế phải ta có
\(\sqrt{x\left(1-yz\right)}+\sqrt{y\left(1-xz\right)}+\sqrt{z\left(1-xy\right)}\le\sqrt{\left(x+y+z\right)\left(3-xy-yz-xz\right)}\)
\(=\sqrt{2\left(x+y+z\right)}\)
=> BĐT được CM
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Lời giải bài này khá dài, làm biếng gõ
Bạn lên google search "đề thi vào 10 chuyên khtn" nhé, đây là bài BĐT trong đề vòng 1 chuyên KHTN năm 2019
Ta có:
\( 1 + {x^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\\ 1 + {y^2} = \left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\\ 1 + {z^2} = \left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right) \)
Nên: \(\dfrac{1}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {y^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {z^2}}} = \dfrac{1}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right)}}\)
\( \dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \dfrac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} = \dfrac{x}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} }} + \dfrac{z}{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}\\ \dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \dfrac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{{x + y}} + \dfrac{x}{{x + z}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{y}{{y + z}} + \dfrac{z}{{x + z}} + \dfrac{z}{{y + z}}} \right) \)
Mặt khác, áp dụng $Bunhia$ ta có:
\({\left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \dfrac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}} \right)^2} \le \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{x}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 + {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 + {z^2}}}} \right) = M\)
Với \(M = \dfrac{{2\left( {x + y + z} \right)\left( {xy + yz + xz} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}\)
Lại có:
\( VP = \dfrac{2}{3}{\left( {\dfrac{x}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 + {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 + {z^2}}}} \right)^3} = \dfrac{2}{3}{\left( {\dfrac{1}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {y^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {z^2}}}} \right)^2}\\ VP \le \dfrac{{4\left( {x + y + z} \right)}}{{3\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}.\dfrac{3}{2} = \dfrac{{2\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}} = \dfrac{1}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {y^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {z^2}}} \)
Vậy \(\dfrac{1}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {y^2}}} + \dfrac{1}{{1 + {z^2}}} \ge \dfrac{3}{2}{\left( {\dfrac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \dfrac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \dfrac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}} \right)^2}\)
Dấu \("= "\) xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Lời giải:
Ta thấy:
\(x^2+xy+y^2=\frac{3}{4}(x^2+2xy+y^2)+\frac{1}{4}(x^2-2xy+y^2)=\frac{3}{4}(x+y)^2+\frac{1}{4}(x-y)^2\)
\(\geq \frac{3}{4}(x+y)^2\) với mọi $x,y>0$
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)\)
Hoàn toàn tương tự:
\(\sqrt{y^2+yz+z^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(y+z); \sqrt{z^2+zx+x^2}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+z)\)
Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn:
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+xy+y^2}+\sqrt{y^2+yz+z^2}+\sqrt{z^2+xz+x^2}\geq \sqrt{3}(x+y+z)\)
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$