Câu hỏi của Bong Bóng Công Chúa

Question

Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì a^2 + b^2 ≥ 1/2

Hiiiii~ · Accepted Answer

Giải:

Ta có: $\left(a-b\right)^2\ge0$

$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge2ab+a^2+b^2$

$\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2$

$\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1^2=1$

$\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)$

Vậy ...Câu trả lời: Giải:

Ta có: $\left(a-b\right)^2\ge0$

$\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0$

$\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab$

$\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2+b^2\ge2ab+a^2+b^2$

$\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2$

$\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1^2=1$

$\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(đpcm\right)$

Vậy ...

Phùng Khánh Linh · Answer

Cách khác :

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki vào bài toán , ta có :

( a2 + b2)( 12 + 12) ≥ ( a + b)2

⇒ a2 + b2 ≥ $\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = $\dfrac{1}{2}$Câu trả lời: Cách khác :

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki vào bài toán , ta có :

( a2 + b2)( 12 + 12) ≥ ( a + b)2

⇒ a2 + b2 ≥ $\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}=\dfrac{1}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b = $\dfrac{1}{2}$