Question

[Hày Cưi]

Chứng minh rằng \(n^5+1999n+2017\) (n∈Z) không phải là số chính phương

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Sửa đề thành \(n\in\mathbb{N}\), vì nếu $n$ nguyên âm thì biểu thức không nguyên.

Đặt \(A=n^5+1999n+2017=n^5-n+2000n+2017\)

\(=n(n^4-1)+2000n+2017\)

\(=n(n^2-1)(n^2+1)+2000n+2017\)

--------------

Ta biết đến tính chất rất quen thuộc là một số chính phương chia $5$ thì dư $0,1$ hoặc $4$

Nếu \(n^2\equiv 0\pmod 5\Rightarrow n\equiv 0\pmod 5\) (do $5$ là snt)

\(\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5\)

Nếu \(n^2\equiv 1\pmod 5\Rightarrow n^2-1\equiv 0\pmod 5\)

\(\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5\)

Nếu \(n^2\equiv 4\pmod 5\Rightarrow n^2+1\equiv 5\equiv 0\pmod 5\)

\(\Rightarrow n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5\)

Tóm lại \(n(n^2-1)(n^2+1)\vdots 5, \forall n\in\mathbb{N}\)

\(\Rightarrow A=n(n^2-1)(n^2+1)+2000n+2015+2\) chia $5$ dư $2$. Do đó $A$ không thể là scp vì scp chia $5$ dư $0,1$ hoặc $4$

Ta có đpcm.