Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ
a, \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
Giả sử \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=a\) (a là số hữu tỉ)
Ta có :
\((\sqrt{3}-\sqrt{2})^2=a ^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{3^2} - 2.\sqrt{3}.\sqrt{2} +\sqrt{2^2} = a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(3-2\sqrt{6} +2\) \(=a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(5-2\sqrt{6} = a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(5-a^2 = 2\sqrt{6}\) \(\Rightarrow\) \(2\sqrt{6} \) là số hữu tỉ (vô lí)
Vậy điều giả sử là sai
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{3}-\sqrt{2} \) là số vô tỉ (đpcm)
b, \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
Giả sử \(2\sqrt{2}+\sqrt{3} =a \) ( a là số hữu tỉ )
Ta có :
\((2\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 =a ^2\)
\(\Leftrightarrow\) \((\sqrt{8}+\sqrt{3})^2 = a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{8^2} +2\sqrt{8}.\sqrt{3}+\sqrt{3^2} =a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(8+2\sqrt{24} +3 =a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(11+2.2\sqrt{6} =a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(11+4\sqrt{6}= a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(4\sqrt{6} = a^2-11\)
\(\Rightarrow\) \(4\sqrt{6} \) là số hữu tỉ (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai
\(\Rightarrow\) \(2\sqrt{2}+\sqrt{3} \) là số vô tỉ (đpcm)
c, \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5} \)
Giả sử : \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5} \) = a ( a là số hữu tỉ )
Ta có :
\((\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})^2 = a^2 \)
\(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{2^2} + \sqrt{3^2} +\sqrt{5^2} +2.\sqrt{2}.\sqrt{3}+2.\sqrt{3}.\sqrt{5}+2.\sqrt{2}.\sqrt{5} =a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(2+3+5+2\sqrt{6} +2\sqrt{15}+2\sqrt{10} =a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(10+2(\sqrt{6}+\sqrt{15}+\sqrt{10})=a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(10+2\sqrt{31} = a^2\)
\(\Leftrightarrow\) \(2\sqrt{31} = a^2-10\)
\(\Rightarrow\) \(2\sqrt{31} \) là số vô tỉ (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5} \) là số vô tỉ (đpcm)
Bạn lam phần c kiểu gì thế
Tại sao \(\sqrt{6}+\sqrt{10}+\sqrt{15}=\sqrt{31}\) ???
\(\frac{1}{3a+2b+c}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\) )cái này bn tự cm nha bằng hệ quả của bunhia
tương tự :\(\frac{1}{3b+2c+a}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(\frac{1}{3c+2a+b}\le\frac{1}{36}\left(\frac{3}{c}+\frac{2}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Công tất cả các vế vs nhau:\(\frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{3b+2c+a}+\frac{1}{3c+2a+b}\le\frac{1}{36}\left(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c}\right)\)=1/36 x96=8/3
à còn phần mik dùng bunhia sao ra dc thế nè :\(\frac{1}{3a+2b+c}=\frac{1}{a+a+a+b+b+c}\)
\(=\frac{1}{36}\left(\frac{36}{a+a+a+b+b+c}\right)\le\frac{1}{36}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)\(=\frac{1}{36}\left(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Giả sử \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}=x\left(x\in Q\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=x^2\\ \Leftrightarrow11+4\sqrt{6}=x^2\\ \Leftrightarrow\sqrt{6}=\dfrac{x^2-11}{4}\)
Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{x^2-11}{4}\) là số vô tỉ \(\Rightarrow\) \(x^2\) là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)
Vậy \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\) là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=x\left(x\in Q\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2=x^2\\ \Rightarrow5-2\sqrt{6}=x^2\\ \Rightarrow\sqrt{6}=\dfrac{5-x^2}{2}\)
Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{5-x^2}{2}\Rightarrow\) \(x^2\)là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)
Vậy \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số vô tỉ
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3.\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
Do \(a+b+c=1\)
nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3.\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
Do \(a+b+c=1\)
nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)