Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của KiKyo - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!
a) \(x^2+xy+y^2+1\)
\(=x^2+xy+\dfrac{y^2}{4}-\dfrac{y^2}{4}+y^2+1\)
\(=\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1\)
mà \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2\ge0,\forall x;y\\\dfrac{3y^2}{4}\ge0,\forall x;y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1>0,\forall x;y\)
\(\Rightarrow dpcm\)
b) \(...=x^2-2x+1+4\left(y^2+2y+1\right)+z^2-6z+9+1\)
\(=\left(x-1\right)^2+4\left(y^{ }+1\right)^2+\left(z-3\right)^2+1>0,\forall x.y\)
\(\Rightarrow dpcm\)
Giải:
a) \(x^2+xy+y^2+1\)
\(=x^2+2.x.\dfrac{y}{2}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1\)
\(=\left(x^2+2.x.\dfrac{y}{2}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2\right)+\dfrac{3y^2}{4}+1\)
\(=\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1\ge1>0;\forall x\)
Vậy ...
Hắc Hường BĐT ở đây. Cj nghĩ cấp 2 chỉ học 1 số loại này thôi
1.BĐT Cauchy
\(A+B\ge2\sqrt{AB}\) (Áp dụng cho 2 số k âm)
\(A+B+C\ge3\sqrt[3]{ABC}\) (Áp dụng cho 3 số k âm )
2.BĐT Bunhiacopxki
\(\left(Ax+By\right)^2\le\left(A^2+B^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
3.BĐT Mincopxki
\(\sqrt{A^2+x^2}+\sqrt{B^2+y^2}\ge\sqrt{\left(A+B\right)^2+\left(x+y\right)^2}\)
4.BĐT Chebyshev
Với A>B, x>y thì
\(\left(A+B\right)\left(x+y\right)\le2\left(ax+by\right)\)
Vs 3 sô thì bên vế phải thay 2 bằng 3
5.BĐT Benuli
\(\left(1+h\right)^n\ge1+nh\)
6.BĐT Holder
Với a,b,c,x,y,z,m,n,p là sô thực dương
\(\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(x^3+y^3+z^3\right)\left(m^3+n^3+p^3\right)\ge\left(axm+byn+czp\right)^3\)
7.BĐT Sơ-vác-sơ
\(\dfrac{a_1^2}{b_1}+\dfrac{a^2_2}{b_2}+...+\dfrac{a^2_n}{b_n}\ge\dfrac{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}{b_1+b_2+...+b_n}\)
8. \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
9. \(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\ge2\)
10. \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)
11. \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
12. \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)13. \(a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)
14. \(\dfrac{a^3}{b}\ge a^2+ab-b^2\)( Ít áp dụng )
15. \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)
\(\left|a\right|-\left|b\right|\le\left|a-b\right|\)
\(\left|\dfrac{x}{y}\right|+\left|\dfrac{y}{x}\right|\ge\left|\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right|\ge2\)
16. \(a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
a/ \(x^2+xy+y^2+1=\left(x^2+xy+\frac{y^2}{4}\right)+\frac{3y^2}{4}+1=\left(x+\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}+1>0\)
b/ \(x^2+5y^2+2x-4xy-10y+14\)
\(=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+2\left(x-2y\right)+1+\left(y^2-6y+9\right)+4\)
\(=\left(x-2y\right)^2+2\left(x-2y\right)+1+\left(y-3\right)^2+4\)
\(=\left(x-2y+1\right)^2+\left(y-3\right)^2+4>0\)
\(\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)
\(=1+x^2+y^2+x^2y^2+4xy+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)
\(=\left(x^2+y^2+2xy\right)+\left(x^2y^2+2xy+1\right)+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)
\(=\left(x+y\right)^2+\left(1+xy\right)^2+2\left(x+y\right)\left(1+xy\right)\)
\(=\left(x+y+1+xy\right)^2\) là SCP
(1+x2)(1+y2)+4xy+2(x+y)(1+xy)
= 1+y2+x2+x2y2+2xy+2xy+2(x+y)(1+xy)
=(x2+2xy+y2)+(x2y2+2xy+1)+2(x+y)(1+xy)
=(x+y)2+(xy+1)2+2(x+y)(1+xy)
=(x+y+xy+1)2
a/ \(x^2+xy+y^2+1\)=\(\left(x^2+2x\dfrac{y}{2}+\left(\dfrac{y}{2}\right)^2\right)+\dfrac{3y^2}{4}+1\)
=\(\left(x+\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+1\) \(\ge\)0
vậy....
b