Question

[Lil Học Giỏi]

Chứng minh rằng :

a²⁰¹⁶ - a²⁰¹² chia hết cho 30 với mọi a ϵ Z .

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

\(B=a^{2016}-a^{2012}=a^{2012}(a^4-1)=a^{2012}(a^2-1)(a^2+1)\)

\(=a^{2011}a(a-1)(a+1)(a^2+1)\)

Ta thấy $a,a-1,a+1$ là 3 số nguyên liên tiếp. Do đó trong 3 số luôn tồn tại ít nhất một số chẵn và một số chia hết cho $3$

$\Rightarrow a(a-1)(a+1)\vdots 2$ và $a(a-1)(a+1)\vdots 3$

Mà $(2,3)=1$ nên $a(a-1)(a+1)\vdots 6$

$\Rightarrow B\vdots 6$ (1)

Mặt khác:

Ta biết một số chính phương khi chia cho $5$ có thể có dư là $0,1,4$

Nếu $a^2\vdots 5$ thì \(B=a^{2012}(a^4-1)=a^2.a^{2010}(a^4-1)\vdots 5\)

Nếu $a^2$ chia $5$ dư $1$: \(\Rightarrow a^2-1\vdots 5\)

\(\Rightarrow B=a^{2012}(a^2-1)(a^2+1)\vdots 5\)

Nếu $a^2$ chia $5$ dư $4$ $\Rightarrow a^2+1\vdots 5$

$\Rightarrow B=a^{2012}(a^2-1)(a^2+1)\vdots 5$

Vậy tóm lại $B\vdots 5$ (2)

Từ $(1);(2)$ mà $(5,6)=1$ nên $B\vdots (5.6)$ hay $B\vdots 30$ (đpcm)