Question

[Lại Quốc Hưng]

Chứng minh rằng :

a) S = 4 + 4² + 4³ + ... + 4⁴⁰ là bội của 17

b) M = 7 + 7² + 7³ + ... + 7²⁰⁰ là bội của 8 và của 50

c) N = 81⁷ -  27⁹ - 9¹³ là của 45

d) P = 3^{n + 3} + 3^{n + 1} + 2^{n + 3} + 2^{n + 2} là bội của 6

Answer 1

[Nguyễn Tấn Phát]

\(\text{a) }S=4+4^2+4^3+...+4^{40}\)
     \(S=\left(4+4^2+4^3+4^4\right)+\left(4^5+4^6+4^7+4^8\right)+...+\left(4^{37}+4^{38}+4^{39}+4^{40}\right)\)
     \(S=4\left(1+4+4^2+4^3\right)+4^5\left(1+4+4^2+4^3\right)+...+4^{37}\left(1+4+4^2+4^3\right)\)
     \(S=\left(1+4+4^2+4^3\right)\left(4+4^5+...+4^{37}\right)\)
    \(S=85.\left(4+4^5+...+4^{37}\right)\)
   \(S=17.5.\left(4+4^5+...+4^{37}\right)\)
   \(\text{Vậy S là bội của 17}\)

\(\text{b) Làm tương tự như câu a) - nhóm 4 hạng tử}\)

\(\text{c) }N=81^7-27^9-9^{13}\)   
     \(N=\left(3^4\right)^7-\left(3^3\right)^9-\left(3^2\right)^{13}\)    
     \(N=3^{4.7}-3^{3.9}-3^{2.13}\)
     \(N=3^{28}-3^{27}-3^{26}\)
     \(N=3^{24}.\left(3^4-3^3-3^2\right)\)
     \(N=3^{24}.45\)
     \(\text{Vậy N là bội của 45}\)

\(\text{d) }P=3^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+3}+2^{n+2}\)
     \(P=3^n.3^3+3^n.3+2^n.8+2^n.4\)
     \(P=3^n.\left(3^3+3\right)+2^n.\left(8+4\right)\)
    \(P=3^n.30+2^n.12\)
   \(P=6.\left(3^n.5+2^n.2\right)\)  
   \(\text{Vậy P là bội của 6}\)