Câu hỏi của Mai Anh

Question

Chứng minh phương trình:$x^n-\left(m+1\right)x-1=0$   luôn có ít nhất một nghiệm với mọi tham số m biết n là số tự nhiên lẻ và $n\ge3$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Đặt $f\left(x\right)=x^n+\left(m+1\right)x-1$Hàm $f\left(x\right)$ liên tục trên R$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^n-\left(m+1\right)x-1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^n\left(1-\dfrac{m+1}{x^{n-1}}-\dfrac{1}{x^n}\right)=-\infty< 0$$\Rightarrow$ Luôn tồn tại một số thực $a< 0$ sao cho $f\left(a\right)< 0$$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^n\left(1-\dfrac{m+1}{x^{n-1}}-\dfrac{1}{x^n}\right)=+\infty>0$$\Rightarrow$ Luôn tồn tại một số thực $b>0$ sao cho $f\left(b\right)>0$$\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm trên (a;b) hay pt đã cho luôn luôn có nghiệmCâu trả lời: Đặt $f\left(x\right)=x^n+\left(m+1\right)x-1$Hàm $f\left(x\right)$ liên tục trên R$\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^n-\left(m+1\right)x-1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^n\left(1-\dfrac{m+1}{x^{n-1}}-\dfrac{1}{x^n}\right)=-\infty< 0$$\Rightarrow$ Luôn tồn tại một số thực $a< 0$ sao cho $f\left(a\right)< 0$$\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^n\left(1-\dfrac{m+1}{x^{n-1}}-\dfrac{1}{x^n}\right)=+\infty>0$$\Rightarrow$ Luôn tồn tại một số thực $b>0$ sao cho $f\left(b\right)>0$$\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)$ luôn có ít nhất 1 nghiệm trên (a;b) hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP