Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(f\left(x\right)=x^n+\left(m+1\right)x-1\)
Hàm \(f\left(x\right)\) liên tục trên R
\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(x^n-\left(m+1\right)x-1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^n\left(1-\dfrac{m+1}{x^{n-1}}-\dfrac{1}{x^n}\right)=-\infty< 0\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại một số thực \(a< 0\) sao cho \(f\left(a\right)< 0\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^n\left(1-\dfrac{m+1}{x^{n-1}}-\dfrac{1}{x^n}\right)=+\infty>0\)
\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại một số thực \(b>0\) sao cho \(f\left(b\right)>0\)
\(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm trên (a;b) hay pt đã cho luôn luôn có nghiệm
\(\text{Đặt f (x)= a.cos2x+b.sinx+cosx}\)
\(\text{Hàm f (x) xác định và liên tục trên R}\)
\(\text{f ( π /4 ) = b √2 /2 + √2 /2 }\)
\(\text{f ( 5/π4 ) = − b √ 2/ 2 − √ 2/ 2 }\)
\(\text{⇒ f (π /4) . f ( 5 π/ 4 ) = − 1/2 ( b + 1 )^ 2 ≤ 0 ; ∀ a ; b ; c}\)
\(⇒ f (x)= 0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn [ π /4 ; 5π/4]\)
Hay pt đã có nghiệm.
Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm: a)x^5 - 3x+3=0 b)x^5+x-1=0 c)x^4+x^3-3x^2+x+1=0
Lời giải:
a) $f(x)=x^5-3x+3$ liên tục trên $R$
$f(0)=3>0; f(-2)=-23<0\Rightarrow f(0)f(-2)<0$
Do đó pt $f(x)=0$ có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(-2;0)$
Nghĩa là pt đã cho luôn có nghiệm.
b) $f(x)=x^5+x-1$ liên tục trên $R$
$f(0)=-1<0; f(1)=1>0\Rightarrow f(0)f(1)<0$
Do đó pt $f(x)=0$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(0;1)$
Hay pt đã cho luôn có nghiệm.
c) $f(x)=x^4+x^3-3x^2+x+1$ liên tục trên $R$
$f(0)=1>0; f(-1)=-3<0\Rightarrow f(0)f(-1)<0$
$\Rightarrow f(x)=0$ luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc $(-1;0)$
Hay pt đã cho luôn có nghiệm.
Bài toán chia kẹo kinh điển đây mà.
Trước hết chúng ta đếm 1 chút theo kiểu lớp 1 lớp 2 gì đó: có 1 đoạn thẳng, cần chia đoạn thẳng ấy làm 3 phần, vậy cần chấm lên đoạn thẳng ấy mấy điểm? Câu trả lời rõ ràng là 2 điểm. Cần chia 1 con cá thành 3 khúc, ta cần 2 nhát cắt; cần ngăn 4 con cọp xếp hàng ngang để chúng đỡ cắn nhau, ta cần 3 vách ngăn. Hay để chia 1 đối tượng làm n phần, ta cần dùng n-1 vách ngăn để chia nó ra, Như thế này:
Bây giờ có số tự nhiên n, ta phân tích nó như sau:
\(n=1+1+1+...+1+1+1\)
Giả sử ta "vách ngăn" vào một vài vị trí giữa các số 1, kiểu thế này:
\(1+1+\left|1+1+1\right|+1+|1+1+...+1\)
Rõ ràng với 3 vách ngăn trên, ta chia n thành 3+1=4 phần, mỗi phần đều có giá trị nguyên dương, lần lượt là 2,3,1,n-6.
Bây giờ cần chia dãy \(1+1+...+1\) trên thành m phần, vậy cần đặt bao nhiêu vách ngăn? Cũng như ban đầu đã phân tích, ta cần đặt \(m-1\) tấm vách ngăn.
Ta có bao nhiêu vị trí để đặt \(m-1\) vách ngăn nói trên? Có n số 1, ta sẽ có \(n-1\) vị trí đặt vách ngăn, sao cho giữa 2 vách ngăn có ít nhất một số 1 (hay giữa 2 vách ngăn luôn là 1 giá trị nguyên dương).
Tóm lại, để chia dãy tổng \(1+1+...+1\) (n số hạng) thành m phần, sao cho mỗi phần chứa ít nhất một số 1, ta cần đặt \(m-1\) tấm vách ngăn vào \(n-1\) vị trí khả dĩ. Như vậy, ta có \(C_{n-1}^{m-1}\) cách.
Hiển nhiên, giá trị của mỗi phần (tức là tổng các số 1 trong phần đó) chính là giá trị nghiệm \(x_i\) của pt \(\sum\limits^m_{i=1}x_i=n\). Vậy pt có \(C_{n-1}^{m-1}\) nghiệm nguyên dương.
//Bay giờ tới nghiệm tự nhiên thì đơn giản, số tự nhiên khác số nguyên dương đúng 1 số 0, bây giờ ta "loại" nó đi là ra bài toán bên trên. Bằng cách đặt \(y_1=x_1+1;y_2=x_2+1...;y_m=x_m+1\), ta đảm bảo \(y_i\) luôn nguyên dương khi \(x_i\) tự nhiên.
Khi đó:
\(y_1+y_2+...+y_m=\left(x_1+1\right)+\left(x_2+1\right)+...+\left(x_m+1\right)\)
\(=\left(x_1+x_2+...+x_m\right)+m=n+m\)
Quay về bài trên, ta có pt \(y_1+y_2+...+y_m=n+m\) có \(C_{n+m-1}^{m-1}\) nghiệm.
Ứng với mỗi \(y_i\) cho đúng 1 giá trị \(x_i=y_i-1\) tương ứng, do đó pt:
\(\sum\limits^m_{i=1}x_i=n\) có \(C_{n+m-1}^{m-1}\) nghiệm tự nhiên
Công thức đầu của em có vẻ bị sai :D
Wow, big brain, cảm ơn thầy nhiều ;) (mà hình như 2 công thức đó bằng nhau vì \(C^k_n=C^{n-k}_n\) ấy thầy).
Xài cái này gõ bài đi bạn, thề như này hiểu chết liền á :(
Hàm số f ( x ) = x n + a 1 x n - 1 + a 2 x n - 2 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 xác định trên R
- Ta có
Vì
nên với dãy số
(
x
n
)
bất kì mà
x
n
→
+
∞
ta luôn có lim
f
(
x
n
)
=
+
∞
Do đó, f ( x n ) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì f ( x n ) > 1 kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nói cách khác, luôn tồn tại số a sao cho f(a) > 1 (1)
Vì
nên với dãy số
(
x
n
)
bất kì mà
x
n
→
−
∞
ta luôn có lim
f
(
x
n
)
=
−
∞
hay
l
i
m
[
−
f
(
x
n
)
]
=
+
∞
Do đó, − f ( x n ) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Nếu số dương này là 1 thì − f ( x n ) > 1 kể từ số hạng nào đó trở đi. Nói cách khác, luôn tồn tại b sao cho −f(b) > 1 hay f(b) < −1 (2)
- Từ (1) và (2) suy ra f(a).f(b) < 0
Mặt khác, f(x) hàm đa thức liên tục trên R nên liên tục trên [a; b]
Do đó, phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm.