Question

[NGUYỄN THỊ QUỲNH]

Chứng minh hằng đẳng thức

a,(a^2+b^2)(a^4+b^4)≥(a^3+b^3)^2

b,(a+b)(a^3+b^3)≤2(a^4+b^4)

Answer 1

[tthnew]

BĐT đồng bậc nên chuyển vế thẳng tiến ạ!:D Em ko chắc đâu nhá!

a) \(BĐT\Leftrightarrow a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6\ge a^6+2a^3b^3+b^6\)

\(\Leftrightarrow a^2b^4+a^4b^2\ge a^3b^3+a^3b^3\)

\(\Leftrightarrow a^2b^4-a^3b^3+a^4b^2-a^3b^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2b^3\left(b-a\right)+a^3b^2\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3b^2-a^2b^3\right)\ge0\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)^2\ge0\) (đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b hoặc tồn tại một số bằng 0.

b) \(BĐT\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+ab^3+a^3b+b^4\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)-\left(ab^3-b^4\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng do \(a^2+ab+b^2=a^2+2.a.\frac{b}{2}+\frac{b^2}{4}+\frac{3}{4}b^2=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\) )

Đẳng thức xảy ra khi a = b

Answer 2

[tthnew]

NGUYỄN THỊ QUỲNH kcj ạ. Em cũng ko chắc đâu