Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=x+y+2\sqrt{xy}\)
\(\ge2\sqrt{\left(x+y\right)\cdot2\sqrt{xy}}=VP\)
Xảy ra khi \(x=y\)
b)\(BDT\Leftrightarrow x+y+z+t\ge4\sqrt[4]{xyzt}\)
Đúng với AM-GM 4 số
Xảy ra khi \(x=y=z=t\)
2.
\(4n^3+n+3=4n^3+2n^2+2n-2n^2-n-1+4=2n\left(2n^2+n+1\right)-\left(2n^2+n+1\right)+4\)-Để \(\left(4n^3+n+3\right)⋮\left(2n^2+n+1\right)\) thì \(4⋮\left(2n^2+n+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2n^2+n+1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\) (do n là số nguyên)
*\(2n^2+n+1=1\Leftrightarrow n\left(2n+1\right)=0\Leftrightarrow n=0\) (loại) hay \(n=\dfrac{-1}{2}\) (loại)
*\(2n^2+n+1=-1\Leftrightarrow2n^2+n+2=0\) (phương trình vô nghiệm)
\(2n^2+n+1=2\Leftrightarrow2n^2+n-1=0\Leftrightarrow n^2+n+n^2-1=0\Leftrightarrow n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n-1\right)=0\Leftrightarrow\left(n+1\right)\left(2n-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow n=-1\) (loại) hay \(n=\dfrac{1}{2}\) (loại)
\(2n^2+n+1=-2\Leftrightarrow2n^2+n+3=0\) (phương trình vô nghiệm)
\(2n^2+n+1=4\Leftrightarrow2n^2+n-3=0\Leftrightarrow2n^2-2n+3n-3=0\Leftrightarrow2n\left(n-1\right)+3\left(n-1\right)=0\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(2n+3\right)=0\)\(\Leftrightarrow n=1\left(nhận\right)\) hay \(n=\dfrac{-3}{2}\left(loại\right)\)
-Vậy \(n=1\)
1. \(x^2+y^2=z^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-z^2=0\)
\(\Rightarrow\left(x-z\right)\left(x+z\right)+y^2=0\)
-TH1: y lẻ \(\Rightarrow x-z;x+z\) đều lẻ.
\(x+3z-y=x+z-y+2x\) chia hết cho 2. \(\Rightarrow\)Hợp số.
-TH2: y chẵn \(\Rightarrow\)1 trong hai biểu thức \(x-z;x+z\) chia hết cho 2.
*Xét \(\left(x-z\right)⋮2\):
\(x+3z-y=x-z+4z-y\) chia hết cho 2. \(\Rightarrow\)Hợp số.
*Xét \(\left(x+z\right)⋮2\):
\(x+3z-y=x+z+2z-y\) chia hết cho 2 \(\Rightarrow\)Hợp số.
Biến đổi tương đương:
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2+y^2}{xy}\ge2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT đã được chứng minh
PP : biến đổi tương đương
Bài làm
Ta có \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+x\right)}{xy\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)xy}\)
Vì x , y >0 , ta suy ra (x+y)2 \(\ge\)4xy
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
Hay (x-y)2 \(\ge\)0 ( điều này luôn đúng )
Vậy..........
a) \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
b) \(x^3+y^3\ge\dfrac{\left(x+y\right)^3}{4}\)
\(\Leftrightarrow4x^3+4y^3\ge\left(x+y\right)^3\Leftrightarrow3x^3+3y^3\ge3x^2y+3xy^2\)
\(\Leftrightarrow3x^2\left(x-y\right)-3y^2\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\left(đúng\right)\)
a: Ta có: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-x^2-2xy-y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3\left(x-y\right)^2}{xy}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left[\left(x-y\right)\left(x+y\right)\right]^2}{x^2y^2}-\dfrac{3\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x^2y^2}-\dfrac{3}{xy}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2y^2}\right)\ge0\)( luôn đúng )
\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
⇔ \(\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)\ge0\)
⇔ \(\left(\dfrac{1+xy-\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\right)+\left(\dfrac{1+xy-\left(1+y^2\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\right)\ge0\)
⇔ \(\left(\dfrac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\right)+\left(\dfrac{1+xy-1-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\right)\ge0\)
⇔ \(\dfrac{-x\left(x-y\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{-y\left(y-x\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
⇔ \(\dfrac{-x\left(x-y\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)
=> -x(x-y)(1+y2)+y(x-y)(1+x2) ≥ 0
⇔ (x-y)[-x(1+y2)+y(1+x2)]≥0
⇔ (x-y)(-x-xy2+y+x2y) ≥0
⇔ (x-y)[-(x-y)+(x2y-y2x)] ≥ 0
⇔ (x-y)[-(x-y)+xy(x-y) ]≥ 0
⇔ (x-y)(x-y)(xy-1)≥ 0
⇔ (x-y)2 (xy-1) ≥0 (luôn đúng ∀ xy ≥ 1)
=> đpcm
bạn pải giả sử trước chứ nếu ntn thì người chấm hỏi ai cho lôi phần chứng minh ra làm phần mục đề
xét hiệu
\(\dfrac{x+y}{xy}-\dfrac{4}{\left(x+y\right)}\)
<=> \(\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy\left(x+y\right)}-\dfrac{4xy}{xy\left(x+y\right)}\)
<=> (x+y)2 -4xy
<=> x2+y2+2xy-4xy
<=> x2+y2-2xy
<=> (x-y)2 ≥ 0 (luôn đúng )
=> đpcm
cảm ơn bạn nhiều