K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

9 tháng 2 2021

Đề phải như thế này nhé:

Chứng minh: \(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(a^2+1\ge2a\)

\(b^2+1\ge2b\)

\(a^2+b^2\ge2ab\)

Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được: \(2\left(a^2+b^2+1\right)\ge2\left(ab+a+b\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = 1

9 tháng 2 2021

a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\left(a+1\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+1\ge2a\)

\(\left(b+1\right)^2\ge0\Rightarrow b^2+1\ge2b\)

Cộng vế với vế ta có: \(a^2+b^2+a^2+1+b^2+1\ge2ab+2a+2b\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+1\right)\ge2\left(ab+a+b\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)(ĐPCM)

10 tháng 5 2019

\(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) đúng

Vậy ta có đpcm

10 tháng 5 2019

Không chắc là đúng đâu nhé :D

\(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2-\frac{a+b}{2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-a-b\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a\left(a+b\right)-\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2a-1\right)\left(a+b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a-1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\ge\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

28 tháng 9 2019

Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\left(b-c\right)^2\ge0\Rightarrow b^2+c^2\ge2bc\)

\(\left(a-c\right)^2\ge0\Rightarrow a^2+c^2\ge2ac\)

\(\Rightarrow2\left(a^{2+}b^2+c^2\right)\ge2ab+2bc+2ac\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

17 tháng 7 2017

Ta có:

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(b^2+c^2\ge2bc\)

\(c^2+a^2\ge2ca\)

Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên ta có:

\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(=>a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)

CHÚC BẠN HỌC TỐT........

17 tháng 7 2017

ta có : \(\left(a-b-c\right)^2\ge0\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2ab+2bc+2ca\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge2\left(ab+bc+ca\right)\forall a;b;c\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\forall a;b;c\)

vậy \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) với mọi \(a;b;c\) (đpcm)

19 tháng 4 2018

\(a^2+\dfrac{b^2}{4}\ge ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b+\left(\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-\dfrac{1}{2}b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

4 tháng 5 2018

Áp dụng bđt cô-si có:

\(a^2+\dfrac{b^2}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{4}}=2\cdot\dfrac{ab}{2}=ab\left(đpcm\right)\)

5 tháng 5 2019

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)\(\left(1\right)\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)\)\(\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)( luôn đúng với mọi a , b , c )

Vậy Phương trình  \(\left(1\right)\)luôn đúng , hay : 

\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)\(\left(đpcm\right)\)

Y
21 tháng 5 2019

\(\Leftrightarrow a^6+1\ge a^4+a^2\)

\(\Leftrightarrow a^6-a^4-a^2+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^4\left(a^2-1\right)-\left(a^2-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-1\right)\left(a^2-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-1\right)^2\left(a^2+1\right)\ge0\)

Vì BĐT cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương nên ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2-1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=-1\end{matrix}\right.\)

Ta có: ( a – b) 2 \(\ge\) 0 => a2 + b2 \(\ge\) 2ab

( b – c)2 \(\ge\) 0 => b2 + c2 \(\ge\) 2bc

( a – c)2 \(\ge\) 0 => a2 + c2 \(\ge\) 2ac

=> 2(a2 + b2 + c2) \(\ge\) 2ab + 2bc + 2ac

=> a2 + b2 + c2 \(\ge\) ab + bc + ac (đpcm )

23 tháng 5 2019

ta có : (a-b)2\(\ge0với\forall a,b\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)(1)

Cm tương tự ta được lần lượt : a2+c2\(\ge2ac\) với \(\forall a,c\)(2)

b2+c2\(\ge2bc\) với \(\forall b,c\)(3)

Cộng vế vế (1), (2)và (3):

a2+b2+c2+a2+b2+c2\(\ge2ab+2ac+2bc\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\left(đpcm\right)\)

NV
13 tháng 4 2019

Biến đổi tương đương:

\(a^4+1\ge a^3+a\Leftrightarrow a^4-a^3-a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^3-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\left[\left(a+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT ban đầu đúng, dấu "=" xảy ra khi \(a=1\)

NV
23 tháng 3 2019

Câu 1: Dùng biến đổi tương đương:

a/ \(3\left(m+1\right)+m< 4\left(2+m\right)\)

\(\Leftrightarrow3m+3+m< 8+4m\)

\(\Leftrightarrow4m+3< 8+4m\)

\(\Leftrightarrow3< 8\) (đúng), vậy BĐT ban đầu là đúng

b/ \(\left(m-2\right)^2>m\left(m-4\right)\)

\(\Leftrightarrow m^2-4m+4>m^2-4m\)

\(\Leftrightarrow4>0\) (đúng), vậy BĐT ban đầu đúng

Câu 2:

a/ \(b\left(b+a\right)\ge ab\)

\(\Leftrightarrow b^2+ab\ge ab\)

\(\Leftrightarrow b^2\ge0\) (luôn đúng), vậy BĐT ban đầu đúng

b/ \(a^2-ab+b^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

NV
23 tháng 3 2019

Câu 3:

a/ \(10a^2-5a+1\ge a^2+a\)

\(\Leftrightarrow9a^2-6a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(3a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

b/ \(a^2-a\le50a^2-15a+1\)

\(\Leftrightarrow49a^2-14a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(7a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Câu 4:

Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{n\left(n+1\right)}=\sqrt{n}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(\Rightarrow VT=\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)

\(\Rightarrow VT< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

\(\Rightarrow VT< 2\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)