K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
16 tháng 9 2019
Với \(n=1\Rightarrow1< 2\sqrt{1}\) (đúng)
Với \(n=2\Rightarrow1+\frac{1}{\sqrt{2}}< 2\sqrt{2}\Rightarrow\sqrt{2}< 3\) (đúng)
Giả sử đúng với \(n=k\) hay \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}< 2\sqrt{k}\)
Ta cần chứng minh \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}< 2\sqrt{k+1}\)
Thật vậy, ta có:
\(VT=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}< 2\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\)
\(VT< \frac{2\sqrt{k\left(k+1\right)}+1}{\sqrt{k+1}}< \frac{k+k+1+1}{\sqrt{k+1}}=2\sqrt{k+1}\) (đpcm)
Vậy ....
P/s: \(2\sqrt{k\left(k+1\right)}< k+\left(k+1\right)\) theo BĐT Cô-si
T
0
HN
0
Q
27 tháng 3 2017
Phát biểu bất đẳng thức Cosy hay bất đẳng thức AM-GM:
Với n số không âm a_i với i=1,2,...,n ta có bất đẳng thức :
a_1 + a_2 + ... + a_3 >= n.(căn bậc n của (a_1.a_2....a_n))
Trường hợp n =1 hiển nhiên đúng.
Trường hợp n=2 ta có
a_1+a_2>= 2.(căn hai của (a_1.a_2))
<=>(căn bậc hai của(a_1) - căn bậc hai của (a_2))>= 0 (đúng)
Không mất tính tổng quát giả sử bđt đúng với n = k. Ta sẽ chứng mình bđt đúng với n=2k. Thật vậy
Ta có
[ a_1 + a_2 + ... + a_(k -1) + a_k ]+[a_(k+1) + ... + a_(2k-1) + a_2k]
>= k.(căn bậc k của (a_1.a_2....a_k)) + k.(căn bậc k của (a_(k+1).a_(k+2)....a_2k))
>= 2k căn bậc 2k của (a_1.a_2...a_2k).
Bây giờ ta sẽ chứng minh đúng khi n=k-1
Ta có
a_1+a_2+...+a_(k-1) + căn bậc (k-1) của (a_1.a_2....a(k-1))
>= k . (căn bậc k của (a_1.a_2...a_(k-1).(căn bậc (k-1)của(a_1.a_2...a(k-1))) = k.(căn bậc (k-1) của (a_1.a_2...a_(k-1)). đpcm
Như vậy ta đã chứng minh bđt đúng khi n=2k và n=k-1. Đây là kiểu cm quy nạp lùi.
1 tháng 7 2020
Với \(n=4\) bđt \(\Leftrightarrow\)\(\frac{x_1}{x_4+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_3}+\frac{x_3}{x_2+x_4}+\frac{x_4}{x_3+x_1}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x_1^2}{x_4x_1+x_1x_2}+\frac{x_2^2}{x_1x_2+x_2x_3}+\frac{x_3^2}{x_2x_3+x_3x_4}+\frac{x_4^2}{x_3x_4+x_4x_1}\ge2\) (1)
\(VT_{\left(1\right)}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)^2}{2\left(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+x_4x_1\right)}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)^2}{2.\frac{\left(x_1+x_2+x_3+x_4\right)^2}{4}}=2\)
Giả sử bđt đúng đến n=k hay \(\frac{x_1}{x_k+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_3}+...+\frac{x_{k-1}}{x_{k-2}+x_k}+\frac{x_k}{x_{k-1}+x_1}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x_2}{x_1+x_3}+...+\frac{x_{k-1}}{x_{k-2}+x_k}\ge2-\frac{x_1}{x_k+x_2}-\frac{x_k}{x_{k-1}+x_1}\)
Với n=k+1, cần cm \(\frac{x_1}{x_{k+1}+x_2}+\frac{x_2}{x_1+x_3}+...+\frac{x_{k-1}}{x_{k-2}+x_k}+\frac{x_k}{x_{k-1}+x_{k+1}}+\frac{x_{k+1}}{x_k+x_1}\ge2\)
hay \(\frac{x_1}{x_{k+1}+x_2}-\frac{x_1}{x_k+x_2}+\frac{x_k}{x_{k-1}+x_{k+1}}-\frac{x_k}{x_{k-1}+x_1}+\frac{x_{k+1}}{x_k+x_1}\ge0\) (2)
giả sử \(x_k=max\left\{a_1;a_2;...;a_{k+1}\right\}\)
\(VT_{\left(2\right)}=\frac{x_1\left(x_k-x_{k+1}\right)}{\left(x_k+x_2\right)\left(x_{k+1}+x_2\right)}+\frac{x_k\left(x_1-x_{k+1}\right)}{\left(x_{k-1}+x_1\right)\left(x_{k-1}+x_{k+1}\right)}+\frac{x_{k+1}}{x_k+x_1}>0\)
2 tháng 7 2020
nhầm, chỗ giả sử là \(x_{k+1}=min\left\{x_1;x_2;...;x_{k+1}\right\}\)
Với \(n=0\) thì đpcm thành \(0⋮30\), luôn đúng.
Với \(n=1\) thì đpcm thành \(x^5-x⋮30\). Ta thấy:
\(VT=x^5-x=x\left(x^4-1\right)=x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)
Ta thấy \(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\) là tích của 3 số liên tiếp nên nó chia hết cho 6 \(\Rightarrow VT⋮6\) (1)
Nếu \(x⋮5\Rightarrow VT⋮5\)
Nếu \(x\equiv\pm1\left[5\right]\) thì \(x-1\) hoặc \(x+1\) chia hết cho 5 \(\Rightarrow VT⋮5\)
Nếu \(x\equiv\pm2\left[5\right]\) thì \(x^2+1⋮5\Rightarrow VT⋮5\)
Vậy với mọi \(x\) thì \(VT⋮5\) (2)
Do \(ƯCLN\left(5,6\right)=1\) nên từ (1) và (2) \(\Rightarrow x^5-x⋮30\)
Vậy với \(n=1\) thì khẳng định đúng.
Giả sử khẳng định đúng đến \(n=k\ge0\). Ta cần chứng minh khẳng định đúng với \(n=k+1\)
Với \(n=k+1\), ta có:
\(x^{4n+1}-x\) \(=x^{4\left(k+1\right)+1}-x\)
\(=x^{4k+5}-x\)
\(=x^4.x^{4k+1}-x^5+x^5-x\)
\(=x^4\left(x^{4k+1}-x\right)+\left(x^5-x\right)\)
Mà theo giả thiết quy nạp, \(x^{4k+1}-x⋮30\) và theo cmt thì \(x^5-x⋮30\)
\(\Rightarrow x^{4n+1}-x=x^4\left(x^{4k+1}-x\right)+\left(x^5-x\right)⋮30\). Như vậy, khẳng định đúng với \(n=k+1\).
Theo nguyên lí quy nạp, ta có đpcm.