K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
23 tháng 2 2019
1)a)Ta có:\(a^3-13a=a^3-a-12a=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)-12a\)
Ta có:\(\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮\)2 và 3;\(12a⋮6\)
Mà (2;3)=1\(\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮6\)
\(\Rightarrow\left(a-1\right)a\left(a+1\right)-12a⋮6\left(đpcm\right)\)
b)Hình như đề sai
TL
1
15 tháng 9 2023
Cách 1: Cái này là định lý Fermat nhỏ thôi bạn. Tổng quát hơn:
Cho số nguyên dương a và số nguyên tố p. Khi đó \(a^p\equiv a\left[p\right]\)
Ta chứng minh định lý này bằng cách quy nạp theo a:
Với \(a=1\) thì \(1^p\equiv1\left[p\right]\), luôn đúng.
Giả sử khẳng định đúng đến \(a=k\left(k\inℕ^∗\right)\). Khi đó \(k^p\equiv k\left[p\right]\). Ta cần chứng minh khẳng định đúng với \(a=k+1\). Thật vậy, với \(a=k+1\), ta có:
\(\left(k+1\right)^p=k^p+C^1_p.k^{p-1}+C^2_pk^{p-2}...+C^{p-1}_pk^1+1\) (*)
((*) áp dụng khai triển nhị thức Newton, bạn có thể tìm hiểu trên mạng)
(Ở đây kí hiệu \(C^n_m=\dfrac{m!}{n!\left(m-n\right)!}\) với \(m\ge n\) là các số tự nhiên và kí hiệu \(x!=1.2.3...x\))
Ta phát biểu không chứng minh một bổ đề quan trọng sau: Với p là số nguyên tố thì \(C^i_p⋮p\) với mọi \(1\le i\le p-1\)
Do đó vế phải của (*) \(\equiv k^p+1\left[p\right]\). Thế nhưng theo giả thiết quy nạp, có \(k^p\equiv k\left[p\right]\) nên \(k^p+1\equiv k+1\left[p\right]\), suy ra \(\left(k+1\right)^p\equiv k+1\left[p\right]\)
Vậy khẳng định đúng với \(a=k+1\). Theo nguyên lí quy nạp, suy ra điều phải chứng minh. Áp dụng định lý này cho số nguyên tố \(p=7\) là xong.
Cách 2: Đối với những số nhỏ như số 7 thì ta có thể làm bằng pp phân tích đa thức thành nhân tử để cm là được:
\(P=a^7-a\)
\(P=a\left(a^6-a\right)\)
\(P=a\left(a^3-1\right)\left(a^3+1\right)\)
\(P=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)\)
Nếu \(a⋮7,a\equiv\pm1\left[7\right]\) thì hiển nhiên \(P⋮7\)
Nếu \(a\equiv\pm2\left[7\right];a\equiv\pm3\left[7\right]\) thì \(\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮7\), suy ra \(P⋮7\). Vậy \(a^7-a⋮7\)
NC
0
MT
3
KN
10 tháng 1 2020
Ta có: \(a^6-1=\left(a^3+1\right)\left(a^3-1\right)\)
\(=\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\)
* a không chia hết cho 7 nên a có 6 dạng: 7k + 1; 7k + 2; 7k + 3; 7k + 4; 7k + 5; 7k + 6
+) a = 7k + 1
\(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\)
\(=\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(7k+1-1\right)\left(a^2+a+1\right)\)
\(=7k\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮7\)hay \(a^6-1⋮7\)
+) a = 7k + 2
\(\Rightarrow a^2=\left(7k+2\right)^2=49k^2+28k+4\)
\(\Rightarrow a^2+a+1=\left(49k^2+28k+4+7k+2+1\right)\)
\(=49k^2+35k+7⋮7\)
Do đó \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮7\)hay \(a^6-1⋮7\)
+) a = 7k + 3
\(\Rightarrow a^2=\left(7k+3\right)^2=49k^2+42k+9\)
\(\Rightarrow a^2+a+1=\left(49k^2+42k+9-7k-3+1\right)\)
\(=49k^2+35k+7⋮7\)
Do đó \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮7\)hay \(a^6-1⋮7\)
+) a = 7k + 4
\(\Rightarrow a^2=\left(7k+4\right)^2=49k^2+56k+16\)
\(\Rightarrow a^2+a+1=\left(49k^2+56k+16+7k+4+1\right)\)
\(\Rightarrow a^2+a+1=\left(49k^2+63k+21\right)⋮7\)
Do đó \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮7\)hay \(a^6-1⋮7\)
+) a = 7k + 5
\(\Rightarrow a^2=\left(7k+5\right)^2=49k^2+70k+25\)
\(\Rightarrow a^2-a+1=\left(49k^2+70k+25-7k-5+1\right)\)
\(=\left(49k^2+63k+21\right)⋮7\)
Do đó \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮7\)hay \(a^6-1⋮7\)
+) a = 7k + 6
\(\Rightarrow a^2=\left(7k+6\right)^2=49k^2+84k+36\)
\(\Rightarrow a^2+a+1=\left(49k^2+84k+36+7k+5+1\right)\)
\(=49k^2+91k+42⋮7\)
Do đó \(\Rightarrow\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮7\)hay \(a^6-1⋮7\)
Vậy \(a^6-1⋮7\)với mọi a không là bội của 7
12 tháng 12 2016
\(2a^2+3ab+2b^2=2\left(a-b\right)^2+7ab....\) chia hết cho 7=> a-b chia hết cho 7
=> (a-b)(a+b) chia hết cho 7 hay a2-b2 chia hết cho 7.
MV
27 tháng 8 2022
sao từ a-b chia hết cho 7 lại suy r dc (a-b)(a+b) cũng thế v bn
LQ
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 4 2022
Nhận xét: với mọi n nguyên thì \(n^2\equiv\left\{0;1;2;4\right\}\left(mod7\right)\)
Giả sử a;b tồn tại 1 số không chia hết cho 7
\(\Rightarrow a^2+b^2\equiv\left\{1;2;3;4;5;6;8\right\}\left(mod7\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\) luôn ko chia hết cho 7 (trái với giả thiết)
Vậy điều giả sử là sai hay \(a;b\) đều chia hết cho 7
CL
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 11 2021
Do n nguyên dương, đặt \(n=m+1\) với m là số tự nhiên
\(\Rightarrow A=2^{3\left(m+1\right)-1}+2^{3\left(m+1\right)+1}+1=2^{3m+2}+2^{3\left(m+1\right)+1}+1\)
\(=4.8^m+2.8^{m+1}+1\)
Do \(8\equiv1\left(mod7\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}8^m\equiv1\left(mod7\right)\\8^{m+1}\equiv1\left(mod7\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow4.8^m+2.8^{m+1}+1\equiv4+2+1\left(mod7\right)\)
\(\Rightarrow4.8^m+2.8^{m+1}+1⋮7\)
a7 - a = a(a6 - 1) = a(a2 - 1)(a2 + a + 1)(a2 - a + 1)
Nếu a = 7k (k thuộc Z) thì a chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 1 (k thuộc Z) thì a2 - 1 = 49k2 + 14k chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 2 (k thuộc Z) thì a2 + a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7
Nếu a = 7k + 3 (k thuộc Z) thì a2 - a + 1 = 49k2 + 35k + 7 chia hết cho 7
Trong trường hợp nào củng có một thừa số chia hết cho 7
Vậy: a7 - a chia hết cho 7
Trước tiên ta phân tích \(a^7-a\)thành nhân tử
\(=\left(a^7+a^6+a^5\right)-\left(a^6+a^5+a^4\right)+\left(a^4+a^3+a^2\right)-\left(a^3+a^2+a\right)\)
\(=a^5\left(a^2+a+1\right)-a^4\left(a^2+a+1\right)+a^2\left(a^2+a+1\right)-a\left(a^2+a+1\right)\)
\(=\left(a^5-a^4+a^2-a\right)\left(a^2+a+1\right)\)
\(=a\left(a^4-a^3+a-1\right)\left(a^2+a+1\right)=a\left(a^4+a-\left(a^3+1\right)\right)\left(a^2+a+1\right)\)
\(=a\left\{a\left(a^3+1\right)-\left(a^3+1\right)\right\}\left(a^2+a+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)\)
Với a là số chẵn thì a có dạng 2n
Khi đó \(a^2+a+1=4n^2+2n+1=2n\left(2n+1\right)+1⋮7\)....(Bí khúc này mình vẫn chưa nghỉ ra cách chứng minh )