Question

[Lê Hoàng Thắng]

chứng minh

2(x²y+y²z+z²y)-(xy+yz+xz)≥3

∀ x,y,z>0 và xyz=1

ai giúp mình bài trên với.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Do $xyz=1$ nên tồn tại $a,b,c>0$ sao cho $(x,y,z)=(\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a})$

Khi đó bài toán trở thành:

Cho $a,b,c>0$. CMR: \(2\left(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\right)-\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\geq 3\)

\(\Leftrightarrow \frac{2(a^3+b^3+c^3)-(a^2b+b^2c+c^2a)}{abc}\geq 3\)

\(\Leftrightarrow 2(a^3+b^3+c^3)\geq a^2b+b^2c+c^2a+3abc(*)\)

---------------

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^3+b^3+c^3\geq 3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc(1)\)

Và:

\(\frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{3}+\frac{b^3}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^6b^3}{3^3}}=a^2b\)

\(\frac{b^3}{3}+\frac{b^3}{3}+\frac{c^3}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{b^6c^3}{3^3}}=b^2c\)

\(\frac{c^3}{3}+\frac{a^3}{3}+\frac{a^3}{3}\geq 3\sqrt[3]{\frac{c^6a^3}{3^3}}=c^2a\)

Cộng theo vế và rút gọn \(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a(2)\)

Lấy $(1)+(2)$ ta thu được $(*)$

Do đó ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=1$

Answer 2

[tthnew]

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\frac{a'}{b'};\frac{b'}{c'};\frac{c'}{a'}\right)\).Cần chứng minh:

\(2\left(\frac{a'^2}{b'c'}+\frac{b'^2}{c'a'}+\frac{c'^2}{a'b'}\right)-\left(\frac{b'}{a'}+\frac{c'}{b'}+\frac{a'}{c'}\right)\)

Đặt \(\left(\frac{a'}{b'};\frac{b'}{c'};\frac{c'}{a'}\right)=\left(a;b;c\right)\). Bây giờ bài toán trở nên dễ dàng hơn:

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng \(2\left(ab+bc+ca\right)-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\). Rất hiển nhiên điều này đúng theo AM-GM: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=3\)

Ta có điều phải chứng minh.

Is that true? Nếu nó đúng, em nghĩ bài này mấu chốt là nhìn ra cách đặt đầu tiên, và một chút may mắn:)