LT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
Y
0
NT
0
Y
4
31 tháng 5 2021
Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có:
\(\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\right)\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\right)\left(a\left(a^2+8bc\right)+b\left(b^2+8ca\right)+c\left(c^2+8ab\right)\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\).
Do đó ta chỉ cần chứng minh \(\left(a+b+c\right)^3\ge a\left(a^2+8bc\right)+b\left(b^2+8ca\right)+c\left(c^2+8ab\right)\Leftrightarrow3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge24abc\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\). Đây là một bđt rất quen thuộc
1 tháng 6 2021
Không Holder thì Svacxo nha :v
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\dfrac{a^2}{a\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b^2}{b\sqrt{b^2+8ac}}+\dfrac{c^2}{c\sqrt{c^2+8ab}}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}}\)
Ta có sẽ đi chứng minh :
\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}\le\left(a+b+c\right)^2\)
Thật vậy theo Bunhiacopxki có :
\(a\sqrt{a^2+8bc}+b\sqrt{b^2+8ac}+c\sqrt{c^2+8ab}=\sqrt{a}\sqrt{a^3+8abc}+\sqrt{b}\sqrt{b^3+8abc}+\sqrt{c}\sqrt{c^3+8abc}\)
\(\le\sqrt{\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3+24abc\right)}\)
Ta lại đi chứng minh :
\(a^3+b^3+c^3+24abc\le\left(a+b+c\right)^3\)
\(\Leftrightarrow24abc\le3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\) ( Đây là BĐT đúng )
Do đó nhân vào ta có đpcm.
UK
3 tháng 8 2017
Dean thật, gõ gần xong rồi tự nhiên nó tạch, phải gõ lại -.-
Từ gt, ta suy ra:
\(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right].\dfrac{1}{2}=0\)(Tự phân tích, không còn kiên nhẫn để gõ lại)
Mà a+b+c khác 0 => a=b=c
Thay vào thì C=8
27 tháng 6 2018
bai 2 :
dat cac tich ab , bc , ca lan luot la x,y,z ( khac 0 )
thay vao ta dc : x^3+y^3+z^3=3xyz
=> (x+y)(x^2-2xy+y^2)+z^3-3xyz=0
=>(x+y)(x^2+2xy+y^2)+z^3-3xy(x+y)-3xyz=0
=》（x+y+z)【（x+y）^2 -(x+y)z+z^2】-3xy(x+y+z)=0
=>(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)=0
=>\(\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\right]\)=0
=> x+y+z=0 hoac x=y=z
TH1 : a+b+c=0
=>P=-1
TH2 : a=b=c
=>P=8
LK
0
ZH
3
HM
15 tháng 6 2017
KHÔNG MẤT TÍNH TÔNG QUÁT, ĐẶT \(a< _=b< _=c\)
TA CÓ:
\(a^2+b^2+c^2+abc=0\)
=> \(a^2+b^2+c^2=-abc\)
DO \(a< _=b< _=c\)
=> \(a^2+b^2+c^2=-abc>_=a^2+a^2+a^2=3a^2\)
=> \(-bc>_=3a\)
XÉT HAI TRƯỜNG HỢP:
TH1: a khác 0
=> \(\frac{-bc}{a}>_=3\)
TA CÓ \(a^2+b^2+c^2=-abc\)
\(a^2+b^2+c^2>0\left(a#0\right)\)
=> - abc > 0
=> Hoặc a âm , b và c lớn hơn 0 , hoặc a , b , c âm
=> \(\frac{-bc}{a}< 0\)
MÀ \(\frac{-bc}{a}>_=3\)
=> LOẠI
TH2: a = 0
=> thỏa mãn
=> \(b^2+c^2+bc=0\)
=> \(b^2+c^2+\left(b+c\right)^2=0\)
=> b = c = 0
VẬY a = b = c = 0
15 tháng 11 2021
Bài 1:
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\Leftrightarrow bc=-ab-ac\)
\(\dfrac{a^2}{a^2+2bc}=\dfrac{a^2}{a^2+bc-ab-ac}=\dfrac{a^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)
CMTT: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{b^2+2ca}=\dfrac{b^2}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}\\\dfrac{c^2}{c^2+2ab}=\dfrac{c^2}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\end{matrix}\right.\)
\(M=\dfrac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=1\)
Bài 2:
\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)+c^3-3abc-3a^2b-3ab^2\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)(do \(a+b+c=0\))
\(\Rightarrow A=\dfrac{0}{\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3}=0\)
HM
16 tháng 11 2021
chị giải thích cho em cái đoạn này với ạ
\(\dfrac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)