Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(a=\frac{9+3\sqrt{17}}{4}\) và \(b=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\)khi đó \(a=3b\)và \(a+1=2b^2=c=\frac{13+3\sqrt{17}}{4}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta thu được các BĐT sau: \(x^2+b^2y^2\ge2bxy\)
\(by^2+z^2\ge2byz\)
\(a\left(z^2+x^2\right)\ge2azx\)
Cộng các vế theo các vế các BĐT thu được để có:
\(\left(a+1\right)\left(x^2+z^2\right)+2b^2y^2\ge2b\left(xy+yz\right)+2azx\)
Hay \(c\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2b\left(xy+yz+3zx\right)\). Từ đó ta thay các giá trị của \(xy+yz+3zx\); b và c để có được
\(P=x^2+y^2+z^2\ge\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)
Cuối cùng, với \(x=z=\frac{1}{\sqrt[4]{17}}\)và \(y=\sqrt{\frac{13\sqrt{17}-51}{34}}\)( Thỏa mãn giả thiết ) thì \(P=\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)
Nên ta kết luận \(\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^2+y^2+z^2\)
\(M=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{x^2}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{49}{16}\)
\(M_{min}=\dfrac{49}{16}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{7}};\dfrac{2}{\sqrt{14}};\dfrac{2}{\sqrt{7}}\right)\)
\(M=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{x^2}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{7}{4}\)
\(M_{min}=\dfrac{7}{4}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{\sqrt{2}};1\right)\)
Áp dụng Bunyakovsky, ta có :
\(\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x.1+y.1\right)^2=1\)
=> \(\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{1}{2}\)
=> \(Min_C=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
Mấy cái kia tương tự
Đặt \(a=\frac{9+3\sqrt{17}}{4};b=\frac{3+\sqrt{17}}{4}\Rightarrow a=3b\) và \(a+1=2b^2=c=\frac{13+3\sqrt{17}}{4}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x^2+b^2y^2\ge2bxy\)
\(by^2+z^2\ge2byz\)
\(a\left(z^2+x^2\right)\ge2azx\)
Cộng vế theo vế của các BĐT ta được:
\(\left(a+1\right)\left(x^2+z^2\right)+2b^2y^2\ge2b\left(xy+yz\right)+2azx\)
\(\Rightarrow c\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2b\left(xy+yz+3zx\right)\). Tiếp tục thay các giá trị của \(xy+yz+3zx\)vào b và c để được:
\(P=x^2+y^2+z^2\ge\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)
\(\Rightarrow x=z=\frac{1}{\sqrt[4]{17}};y=\sqrt{\frac{13-\sqrt{17}-51}{34}}\left(TMĐK\right)\)
\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{17}-3}{2}\)là GTNN của biểu thức P ( đpcm )