Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT Cauchy=Schwarz ta có:
\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{3}\)
Ta lại có:\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\forall x,y,z\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)-2\left(xy+yz+zx\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow A\le\sqrt{3}+1\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Em làm lại,cách này mà còn sai nữa thì em xin hàng ạ! Dù sao đi nữa cũng xin mọi người chịu khó góp ý giúp em để em càng ngày càng tiến bộ hơn nữa ạ! Thanks all !
*Tìm min
Đặt p = x + y + z; q = xy + yz + zx thì \(x^2+y^2+z^2=p^2-2q=1\Rightarrow q=\frac{p^2-1}{2}\)
Suy ra \(A=p+q=p+\frac{p^2-1}{2}=\frac{p^2+2p-1}{2}\)
\(=\frac{p^2+2p+1-2}{2}=\frac{\left(p+1\right)^2-2}{2}\ge-\frac{2}{2}=-1\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -1.
Dấu "=" xảy ra khi (x;y;z) = (0;0;-1) (chỗ này em không biết giải rõ thế nào nữa :v)
*Tìm max
Ta có BĐT sau: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\le x^2+y^2+z^2\)
Suy ra \(q\le\frac{p^2}{3}\le p^2-2q=1\) suy ra \(\hept{\begin{cases}q\le p^2-2q=1\\p^2\le3\left(p^2-2q\right)\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}q\le1\\p\le\sqrt{3\left(p^2-2q\right)}=\sqrt{3}\end{cases}}\)
Suy ra \(A=p+q\le\sqrt{3}+1\)
Giải:
Sửa đề:
\(P=\left(xy+yz+xz\right)^2+\left(x^2-yz\right)^2+\left(y^2-xz\right)^2+\left(z^2-xy\right)^2\)
\(\Leftrightarrow P=x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2+2xy^2z+2x^2yz+2xyz^2+x^4-2x^2yz+y^2z^2+y^4-2xzy^2+x^2z^2+z^4-2xyz^2+x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow P=2x^2y^2+2y^2z^2+2x^2z^2+x^4+y^4+z^4\)
\(\Leftrightarrow P=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow P=10^2\)
\(\Leftrightarrow P=100\)
Vậy ...