Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Liên tục áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) và ta có:
\(\frac{1}{3x+3y+2x}=\frac{1}{2\left(x+y\right)+\left(x+y+2z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2\left(x+y\right)}+\frac{1}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\right)\le\frac{1}{8\left(x+y\right)}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
Chứng minh tương tự tạ có:
\(\frac{1}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{8\left(z+x\right)}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{8\left(y+z\right)}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\)
Suy ra \(VT\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{1}{4}\)
Lời giải:
\(\frac{1}{2x+y+6}+\frac{1}{2y+z+6}+\frac{1}{2z+x+6}\leq \frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow \frac{6}{2x+y+6}+\frac{6}{2y+z+6}+\frac{6}{2z+x+6}\leq \frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow 1-\frac{2x+y}{2x+y+6}+1-\frac{2y+z}{2y+z+6}+1-\frac{2z+x}{2z+x+6}\leq \frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow A=\frac{2x+y}{2x+y+6}+\frac{2y+z}{2y+z+6}+\frac{2z+x}{2z+x+6}\geq \frac{3}{2}\)
-----------------------
Thật vậy. Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(A=\frac{(2x+y)^2}{(2x+y)(2x+y+6)}+\frac{(2y+z)^2}{(2y+z)(2y+z+6)}+\frac{(2z+x)^2}{(2z+x)(2z+x+6)}\)
\(\geq \frac{(2x+y+2y+z+2z+x)^2}{ (2x+y)(2x+y+6)+(2y+z)(2y+z+6)+(2z+x)(2z+x+6)}\)
\(\Leftrightarrow A\geq \frac{9(x+y+z)^2}{5(x^2+y^2+z^2)+4(xy+yz+xz)+18(x+y+z)}\)
Ta sẽ cm \( \frac{9(x+y+z)^2}{5(x^2+y^2+z^2)+4(xy+yz+xz)+18(x+y+z)}\geq \frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{3(x+y+z)^2}{5(x^2+y^2+z^2)+4(xy+yz+xz)+18(x+y+z)}\geq \frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+8(xy+yz+xz)\geq 18(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow (x+y+z)^2+6(xy+yz+xz)\geq 18(x+y+z)(*)\)
Theo BĐT AM-GM: \((xy+yz+xz)^2\geq 3xyz(x+y+z)\)
\(\Leftrightarrow (xy+yz+xz)^2\geq 24xyz\Rightarrow xy+yz+xz\geq 2\sqrt{6(x+y+z)}\)
Đặt \(\sqrt{6(x+y+z)}=t\)
Có \((x+y+z)^2+6(xy+yz+xz)\geq \frac{t^4}{36}+12t\geq 18.\frac{t^2}{6}\)
\(\Leftrightarrow \frac{t^3}{36}+12\geq 3t\)
\(\Leftrightarrow t^3-108t+432\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (t-6)^2(t+12)\geq 0\) (luôn đúng với mọi \(t\geq 0\) )
Do đó ta có \((*)\), từ \((*)\Rightarrow A\geq \frac{3}{2}\). CM kết thúc
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)
a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)
Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)
Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{16}{a+b+c+d}\)ta có :
\(\frac{16}{3x+3y+2z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\)
\(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\)
\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\)
Cộng theo vế 3 đẳng thức trên ta được :
\(16.\left(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\right)\)
\(\le4.\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=4.6=24\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\)
Câu hỏi của NGUYỄN DOÃN ANH THÁI - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Đặt \(x=2a;y=2b;z=2c\)
Thì ta có: \(\sqrt{abc}=1\)
Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+1}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{bc}+1}+\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{ca}+1}=1\)
Ta cần chứng minh:
\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2a+b+3}+\frac{1}{2b+c+3}+\frac{1}{2c+a+3}\right)\le\frac{1}{4}\)
Ta có:
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2\sqrt{a}+2\sqrt{ab}+2}+\frac{1}{2\sqrt{b}+2\sqrt{bc}+2}+\frac{1}{2\sqrt{c}+2\sqrt{ca}+2}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\)
alibaba nguyễn: tớ có 1 khúc mắc là vì sao lại có thể đưa ra dòng thứ 3 (từ trên xuống dưới)