K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

21 tháng 10 2019

Liên tục áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) và ta có:

\(\frac{1}{3x+3y+2x}=\frac{1}{2\left(x+y\right)+\left(x+y+2z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2\left(x+y\right)}+\frac{1}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\right)\le\frac{1}{8\left(x+y\right)}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)

Chứng minh tương tự tạ có:

\(\frac{1}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{8\left(z+x\right)}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\)

\(\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{8\left(y+z\right)}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\)

Suy ra \(VT\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{1}{4}\)

21 tháng 10 2019

mơn ạ

1 tháng 2 2018

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{16}{a+b+c+d}\)ta có :

\(\frac{16}{3x+3y+2z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\)

\(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\)

\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{y+z}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\)

Cộng theo vế 3 đẳng thức trên ta được :

\(16.\left(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\right)\)

\(\le4.\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=4.6=24\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\)

1 tháng 2 2018

Câu hỏi của NGUYỄN DOÃN ANH THÁI - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

26 tháng 10 2016

Ta có:

\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=6\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)\(\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)

Lại có: \(\frac{1}{2x+3y+3z}=\frac{\left(\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\right)^2}{2\left(x+y+z\right)+y+z}\le\frac{9}{32\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{16\left(y+z\right)}\)

Do đó:

\(\frac{1}{2x+3y+3z}+\frac{1}{2y+3x+3z}+\frac{1}{2z+3x+3y}\)

\(\le\frac{9}{32\left(x+y+z\right)}\cdot3+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)

\(\le\frac{9}{32\cdot\frac{3}{4}}+\frac{1}{16}\cdot6=\frac{3}{2}\)(Đpcm)

1 tháng 2 2018

Tại sao \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}=6\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)

25 tháng 9 2016

a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)

Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2

b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)

Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)

Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)

13 tháng 7 2017

đề đúng , giải sai kìa ...

19 tháng 9 2019

a) \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(+\frac{1}{y^2}\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)

\(=2+\left(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\right)+\frac{255}{256x^2y^2}\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwar cho 2 số không âm, ta được:

\(x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2y^2}{256x^2y^2}}=\frac{1}{8}\)

C/m được BĐT phụ: \(1=\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow16x^2y^2\le1\Leftrightarrow256x^2y^2\le16\Leftrightarrow\frac{255}{256x^2y^2}\ge\frac{255}{16}\)

\(\Rightarrow M\ge2+\frac{1}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2y^2=\frac{1}{256x^2y^2}\\x-y=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\))

19 tháng 9 2019

\(\frac{16}{3x+3y+2z}=\frac{16}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(z+x\right)+\left(x+y\right)1}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\)

Tương tự \(\frac{16}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+z}\)

\(\frac{16}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{y+z}\)

Cộng vế theo vế ta có:

\(16\left(\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\right)\le4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=24\)

\(\Rightarrow\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

P/S:Có dùng S-vác ngược dấu ạ.ý tưởng tách mẫu là từ tth_new - Trang của tth_new - Học toán với OnlineMath nha !

13 tháng 10 2019

Câu 1:

\(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=x^2y^2+\frac{1}{256x^2y^2}+\frac{255}{256x^2y^2}+2\)

\(\ge\frac{1}{8}+2+\frac{255}{256x^2y^2}\)

Ta lại có: \(1=x+y\ge2\sqrt{xy}\Leftrightarrow1\ge16x^2y^2\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{17}{8}+\frac{255}{16}=\frac{289}{16}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=1/2

13 tháng 10 2019

Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz: \(\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\right)\ge\frac{1}{3x+3y+2z}\)

CMTT rồi cộng vế với vế ta có.\(VT\le\frac{1}{16}\cdot4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1

13 tháng 10 2019

\(\text{Áp dụng BĐT:}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\ge\frac{16}{a+b+c+d}\)

\(\frac{1}{3x+3y+2z}=\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(x+y\right)+\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)

\(\text{tương tự với các BĐT còn lại }\)

\(\Rightarrow\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+3z+2y}+\frac{1}{3y+3z+2x}\le\frac{1}{16}.\left(\frac{4}{x+z}+\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}\right)=\frac{1}{16}.24=\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

14 tháng 11 2015

Áp dụng \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

\(\frac{1}{3x+3y+2z}=\frac{1}{2\left(x+y\right)+\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\le\frac{1}{4}.\frac{1}{2\left(x+y\right)}+\frac{1}{4}.\frac{1}{x+z+y+z}\le\frac{1}{8\left(x+y\right)}+\frac{1}{4}.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)

4 tháng 10 2016

Áp dụng Bđt \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Ta có:

\(\frac{1}{2x+3y+3z}=\frac{1}{\left(x+2y+z\right)+\left(x+y+2z\right)}\)\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\cdot\left(\frac{1}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{z+y}\right)\)

\(\le\frac{1}{4}\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\right]+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)

\(=\frac{1}{16}\left(6+\frac{1}{y+z}\right)\).Tương tự với 2 cái còn lại r` cộng lại ta đc:

\(P\le\frac{1}{16}\left[6+6+6+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right]=\frac{3}{2}\)

NV
5 tháng 11 2019

Bài 1:

Đặt \(\left(x+y;y+z;z+x\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=6\)

\(P=\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+b+2c}+\frac{1}{a+2b+c}\)

\(P=\frac{1}{a+a+b+c}+\frac{1}{a+b+c+c}+\frac{1}{a+b+b+c}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{16}\left(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\) hay \(x=y=z=\frac{1}{4}\)

NV
5 tháng 11 2019

Bài 2:

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-xy=5\\\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)=5x+15y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2-xy=5\\5\left(x+y\right)=5x+15y\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow10y=0\Rightarrow y=0\)

Thay vào pt đầu: \(x^2=5\Rightarrow x=\pm\sqrt{5}\)

Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{5};0\right);\left(-\sqrt{5};0\right)\)