Question

[Chiến Nguyễn Minh]

chờ x,y,z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1.CMR

\(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{x+z+1}\le1\)

Answer 1

[alibaba nguyễn]

Ta chứng minh

\(a+b\ge\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)^2\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\ge0\)(đúng )

Áp đụng vào bài toán ta được

\(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\)

\(\le\frac{1}{\sqrt[3]{xy}\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}\right)+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{yz}\left(\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\right)+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{zx}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+1}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{z}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}+\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}+\frac{\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}}=1\)

Answer 2

[Hoàng Phúc]

đặt x=a/b , y=b/c , z=c/a