Câu hỏi của Agami Raito

Question

Cho x,y,z > 0 và x+y+z = 2008

Chứng minh : $\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{x^4+z^4}{x^3+z^3}$ ≥ 2008

Phạm Minh Quang · Accepted Answer

Ta có:

$x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3=\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)$

$\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}$

Σ$\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}$$\ge x+y+z=2008$Câu trả lời: Ta có:

$x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3=\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)$

$\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}$

Σ$\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}$$\ge x+y+z=2008$