Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với x = y \(\ge\)0=> \(\sqrt{x}=\sqrt{y}\) là số hữu tỉ
Với \(x\ne y>0\)
Đặt \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=t\) là số hữu tỉ
=> \(\frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=t\Rightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}=\frac{x-y}{t}\) là số hữu tỉ
=> \(\sqrt{x};\sqrt{y}\) là số hữu tỉ
Ta có \(9x-4y=\left(3\sqrt{x}-2\sqrt{y}\right)\left(3\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)\)là số hữu tỷ
Vì \(\left(3\sqrt{x}-2\sqrt{y}\right)\)(1) là số hữu tỷ nên \(\left(3\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)\)(2) cũng là số hữu tỷ
Lấy (2) - (1) và (2) + (1) ta được
\(\hept{\begin{cases}4\sqrt{y}\\6\sqrt{x}\end{cases}}\)là 2 số hữu tỷ vậy \(\sqrt{x},\sqrt{y}\)là hai số hữu tỷ
Điều kiện \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\end{cases}}\)
\(1+\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+y+3}=\sqrt{x}+\sqrt{y}-1\) (\(\sqrt{x}+\sqrt{y}-1>0\))
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}-1\) (\(\sqrt{xy}-1>0\))
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=\left(\sqrt{xy}-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4\sqrt{xy}=x+y-xy-1\)
Vì x, y nguyên nên \(\sqrt{xy}\) cũng phải nguyên
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}-1\) nguyên (1)
Ta lại có:
\(x-y=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}-\sqrt{y}\) nguyên (2)
Lấy (1) + (2) và (1) - (2) ta có:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{x}-\sqrt{y}=2\sqrt{x}\\\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\sqrt{y}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x},\sqrt{y}\) là số nguyên
Vậy x, y là bình phương đúng của 1 số nguyên.
Đẳng thức đã cho tương đương với
\(x^2+2xy+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2+2xy.\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(xy+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right).\frac{xy+1}{x+y}+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x+y-\frac{xy+1}{x+y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy+1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{1+xy}=|x+y|\)
Vì x,y là số hữu tỉ nên Vế phải của đẳng thức là số hữu tỉ => Điều phải chứng minh
a)ta có :x+y=a1\(\sqrt{2}\)+b1+a2\(\sqrt{2}\)+b2=(a1+a2)\(\sqrt{2}\)+b1+b2
mặt khác, ta lại có a1,a2,b1,b2 là những số hữu tỉ nên (a1+a2);(b1+b2) cũng là những số hữu tỉ
=>biểu thức x+y cũng được viết dưới dạng a\(\sqrt{2}\)+b với a,b là số hữu tỉ.
ta xét tích x.y=(a1\(\sqrt{2}\)+b1)(a2\(\sqrt{2}\)+b2)=2a1.a2+a1.b2\(\sqrt{2}\)+b1.a2.\(\sqrt{2}\)+b1.b2=(a1b2+b1a2)\(\sqrt{2}\)+(2a1a2+b1b2)
vì a1,a2,b1,b2 là những số hữu tỉ nên các tích a1a2;b1b2;a1b2;a2b1 là những số hữu tỉ nên x.y cững có dạng a\(\sqrt{2}\)+b với a,b là số hữu tỉ
b) xét thương \(\dfrac{x}{y}\)=\(\dfrac{a_1\sqrt{2}+b_1}{a_2\sqrt{2}+b_2}=\dfrac{\left(a_1\sqrt{2}+b_1\right)\left(a_2\sqrt{2}-b_2\right)}{\left(a_2\sqrt{2}+b_2\right)\left(a_2\sqrt{2}-b_2\right)}\)
=\(\dfrac{2a_1a_2-a_1b_2\sqrt{2}+a_2b_1\sqrt{2}-b_1b_2}{2a_2^2-b_2^2}\)=\(\dfrac{\left(a_2b_1-a_1b_2\right)\sqrt{2}}{2a_2^2-b_2^2}+\dfrac{2a_1a_2-b_1b_2}{2a_2^2-b_2^2}\)
vì a1,b1,a2,b2 là những số hữu tỉ nên a1b2;a1a2;b1b2;a2b1 cũng là những số hữu tỉ hay \(\dfrac{a_2b_1-a_1b_2}{2a_2^2-b_2^2};\dfrac{2a_1a_2-b_1b_2}{2a_2^2-b_2^2}\)cũng là những số hữu tỉ nên \(\dfrac{x}{y}\) cũng có dạng a\(\sqrt{2}\)+b với a và b là những số hữu tỉ
\(x^{2019}+y^{2019}=2x^{1009}.y^{1009}< =>x^{2020}+x.y^{2019}=2x^{1010}y^{1009}< =\)\(>\left(x^{1010}-y^{1009}\right)^2=y^{2018}\left(1-xy\right)=>\sqrt{1-xy}=\frac{x^{1010}-y^{1009}}{y^{1009}}\)
x;y là số hữu tỉ nên có dạng \(x=\frac{m}{n};y=\frac{p}{q}\left(m;n;p;q\in Z\right)\)=> \(\sqrt{1-xy}=\frac{m^{1010}.q^{1009}-n^{1010}.p^{1009}}{n^{1010}.p^{1009}}=\frac{A}{B}\left(A;B\in Z\right)\)=> \(\sqrt{1-xy}\in Q\)
Câu 1/
\(\hept{\begin{cases}4xy=5\left(x+y\right)\\6yz=7\left(y+z\right)\\8zx=9\left(z+x\right)\end{cases}}\)
Dễ thấy \(x=y=z=0\) là 1 nghiệm của hệ
Xét \(x,y,z\ne0\) thì ta có hệ
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{y}+\frac{1}{x}=\frac{4}{5}\\\frac{1}{z}+\frac{1}{y}=\frac{6}{7}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{8}{9}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{131}{315}\\\frac{1}{y}=\frac{121}{315}\\\frac{1}{z}=\frac{149}{315}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{315}{131}\\y=\frac{315}{121}\\z=\frac{315}{149}\end{cases}}\)
PS: Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì các bạn khác sẽ bỏ qua đấy b. Mỗi lần đăng 1 câu thôi
Ta có : \(\left(x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)=2017\left(1\right)\)
\(\left(y+\sqrt{y^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017\left(2\right)\)
nhân theo vế của ( 1 ) ; ( 2 ) , ta có :
\(2017\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017^2\)
\(\Rightarrow\left(-x+\sqrt{x^2+2017}\right)\left(-y+\sqrt{y^2+2017}\right)=2017\)
rồi bạn nhân ra , kết hợp với việc nhân biểu thức ở phần trên xong cộng từng vế , cuối cùng ta đc :
\(xy+\sqrt{\left(x^2+2017\right)\left(y^2+2017\right)}=2017\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2017\right)\left(y^2+2017\right)}=2017-xy\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2+2017\left(x^2+y^2\right)+2017^2=2017^2-2\cdot2017xy+x^2y^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=-2xy\Rightarrow\left(x+y\right)^2=0\Rightarrow x=-y\)
A = 2017
( phần trên mk lười nên không nhân ra, bạn giúp mk nhân ra nha :) )
2/ \(\frac{\sqrt{x-2011}-1}{x-2011}+\frac{\sqrt{y-2012}-1}{y-2012}+\frac{\sqrt{z-2013}-1}{z-2013}=\frac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{4\sqrt{x-2011}-4}{x-2011}+\frac{4\sqrt{y-2012}-4}{y-2012}+\frac{4\sqrt{z-2013}-4}{z-2013}=3\)
\(\Leftrightarrow\left(1-\frac{4\sqrt{x-2011}-4}{x-2011}\right)+\left(1-\frac{4\sqrt{y-2012}-4}{y-2012}\right)+\left(1-\frac{4\sqrt{z-2013}-4}{z-2013}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x-2011-4\sqrt{x-2011}+4}{x-2011}\right)+\left(\frac{y-2012-4\sqrt{y-2012}+4}{y-2012}\right)+\left(\frac{z-2013-4\sqrt{z-2013}+4}{z-2013}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x-2011}-2\right)^2}{x-2011}+\frac{\left(\sqrt{y-2012}-2\right)^2}{y-2012}+\frac{\left(\sqrt{z-2013}-2\right)^2}{z-2013}=0\)
Dấu = xảy ra khi \(\sqrt{x-2011}=2;\sqrt{y-2012}=2;\sqrt{z-2013}=2\)
\(\Leftrightarrow x=2015;y=2016;z=2017\)
Lời giải:
Đặt \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=a\in\mathbb{Q}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x}=a-\sqrt{y}\)
Bình phương 2 vế:
\(x=a^2+y-2a\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow 2a\sqrt{y}=a^2+y-x\in\mathbb{Q}\) do \(a,x,y\in\mathbb{Q}\)
Ta thấy \(\left\{\begin{matrix} 2a\sqrt{y}\in\mathbb{Q}\\ 2a\in\mathbb{Q}\end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{y}\in\mathbb{Q}\)
\(\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}\in\mathbb{Q}\\ \sqrt{y}\in\mathbb{Q}\end{matrix}\right.\Rightarrow \sqrt{x}\in\mathbb{Q}\)
Ta có đpcm.