K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
D
0
HK
1
HT
5 tháng 5 2016
Ta có \(\frac{x-y}{x+y}=\frac{x-y}{x+y}\times1=\frac{x-y}{x+y}\times\frac{x+y}{x+y}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(x+y\right)}=\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}\)
Vì x>y>0 \(\Rightarrow x^2+2xy+y^2>x^2+y^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}<\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow\frac{x-y}{x+y}<\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
PN
1
19 tháng 11 2015
\(\left(x+y\right)^2=x^2+y^2+2xy>x^2+y^2\)
\(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}<\frac{1}{x^2+y^2}\)
\(\frac{x-y}{\left(x+y\right)^2}<\frac{x-y}{x^2+y^2};vì:x-y>0\)nhân 2 vế với x+y
\(\frac{x-y}{x+y}<\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{x^2+y^2};vì:x+y>0\)
VL
0
MJ
0
VL
0
3 tháng 7 2017
Bài 2:
a) Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\) \(\ge2\sqrt{\dfrac{1}{4^2ab}}=\dfrac{2}{4\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2\sqrt{ab}}\)
\(\ge\dfrac{1}{a+b}\) (Đpcm)
b) Trừ 1 vào từng vế của BĐT ta được BĐT tương đương:
\(\left(\frac{x}{2x+y+z}-1\right)+\left(\frac{y}{x+2y+z}-1\right)+\left(\frac{z}{x+y+2z}-1\right)\le\frac{-9}{4}\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le-\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)
\(\ge\dfrac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\dfrac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\le\dfrac{3}{4}\) (Đpcm)
3 tháng 7 2017
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a-1+b-1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)
Nên cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge8a+8b-16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)^2\ge0\) luôn đúng
2 tháng 2 2020
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(xy\left(x^2+y^2\right)=\frac{1}{2}.2xy\left(x^2+y^2\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(2xy+x^2+y^2\right)^2}{4}\)
\(=\frac{1}{2}.\frac{\left(x+y\right)^4}{4}=2\)
Dấu = xảy ra khi x = y = 1
2 tháng 2 2020
https://diendantoanhoc.net/topic/119823-cho-xy2-ch%E1%BB%A9ng-minh-r%E1%BA%B1ng-xyx2-y2%E2%80%8B-2/
2 tháng 2 2020
Bài này áp dụng BĐT Cô-si nhưng thử thế này:
Ta thấy x,y đều là số nguyên dương nên có 2 TH:
=> x+y=2=>0<xy<1(1)
Nếu 2xy(x2+y2) < 1 (2)
=>0<2xy(x2+y2) < \(\frac{\left(x+4\right)}{4}\) =4
=> 0< xy (x2 + y2)<2
Nhân (1) và (2) theo vế:
Ta có: x2y2 (x2+ y2)<2
đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1
Bạn nên viết đề bằng công thức toán để mọi người theo dõi dễ hơn (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo)