LM
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
26 tháng 3 2022
\(A=x^2+3xy+4y^2\ge4y^2+3y+1\)
\(=\left(4y^2+\frac{2.2y.3}{4}+\frac{9}{16}\right)+\frac{7}{16}\)
\(=\left(2y+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{7}{16}\ge\frac{7}{16}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2022
\(A=\dfrac{7x^2}{16}+\left(\dfrac{9x^2}{16}+3xy+4y^2\right)\)
\(A=\dfrac{7x^2}{16}+\left(\dfrac{3x}{4}+2y\right)^2\ge\dfrac{7x^2}{16}\ge\dfrac{7.1^2}{16}=\dfrac{7}{16}\)
\(A_{min}=\dfrac{7}{16}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(1;-\dfrac{3}{8}\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 3 2021
\(P=x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\left(x+y+z\right)^3=\dfrac{64}{3}\)
\(P_{min}=\dfrac{64}{3}\) khi \(x=y=z=\dfrac{4}{3}\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a+1;b+1;c+1\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\a;b;c\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow0\le a;b;c\le1\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\le a+b+c=1\)
\(P=\left(a+1\right)^2+\left(b+1\right)^2+\left(c+1\right)^2\)
\(P=a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)+3=a^2+b^2+c^2+5\le1+5=6\)
\(P_{max}=6\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;2\right)\) và hoán vị
12 tháng 5 2020
ta dễ chứng minh được \(x+y\ge\frac{2\sqrt{2}}{5}-\frac{2}{5}\)\(\Rightarrow\)\(x+y+\frac{2\sqrt{2}}{5}-\frac{2}{5}>0\)
\(P=\frac{5\left(x+y+\frac{2\sqrt{2}}{5}-\frac{2}{5}\right)\left(\frac{5}{2}\left(x+y-\left(\frac{2\sqrt{2}}{5}-\frac{2}{5}\right)\right)\left(\frac{5}{2}\left(x+y\right)+\sqrt{2}+1\right)-\frac{9}{4}\left(x-y\right)^2\right)}{\frac{5}{2}\left(x+y\right)+\sqrt{2}+1}\)
\(+\left(\frac{\frac{45}{2}\left(x+y+\frac{2\sqrt{2}}{5}-\frac{2}{5}\right)}{5\left(x+y\right)+\sqrt{2}+1}+\frac{9}{2}\right)\left(x-y\right)^2+6-4\sqrt{2}\ge6-4\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{\sqrt{2}-1}{5}\)
T
12 tháng 5 2020
Ta chứng minh: \(P\ge6-4\sqrt{2}+\left(2-\sqrt{2}\right)\left(4x^2+4y^2+17xy+5x+5y-11\right)\)
Hay là:
\(\frac{\left(9+4\sqrt{2}\right)\left(98x-298y-130+225\sqrt{2}y+85\sqrt{2}\right)^2}{9604}+\frac{18\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(-5y-1+\sqrt{2}\right)^2}{36+16\sqrt{2}}\ge0\)
Việc còn lại là của mọi người.
NK
1
21 tháng 8 2015
Theo giả thiết \(x+y\le3\to xy+\left(y+4\right)\le y\left(3-y\right)+y+4=-\left(y-2\right)^2+8\le8.\)
Do đó theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz \(\frac{1}{xy}+\frac{9}{y+4}\ge\frac{\left(1+3\right)^2}{xy+y+4}\ge\frac{16}{8}=2.\)
Nhân cả hai vế với \(\frac{2}{3}\) ta suy ra \(\frac{2}{3xy}+\frac{6}{y+4}\ge\frac{4}{3}.\) Dấu bằng xảy ra khi \(y=2,x=1.\) Vậy giá trị bé nhất của \(P\) là \(\frac{4}{3}\).
13 tháng 7 2018
\(\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)+\left(x\sqrt{x}-y\sqrt{y}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+\sqrt{xy}+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\)
\(\Rightarrow S=2x^2-8x+5=2\left(x-2\right)^2-3\ge-3\)
16 tháng 7 2018
Tại sao từ:\(\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)\) lại => đc: \(\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}\)??????????
DT
0
\(A=x^2+3xy+4y^2=\frac{7}{16}x^2+\frac{9}{16}x^2+3xy+4y^2=\frac{7}{16}x^2+\left(\frac{3}{4}x+2y\right)^2\)
\(\ge\frac{7}{16}.1^2+0^2=\frac{7}{16}\)
Dấu \(=\)khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\\frac{3}{4}x+2y=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-\frac{3}{8}\end{cases}}\).