VT
3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AM
14 tháng 3 2020
Áp dụng BĐT AM-GM: $VP\leq \frac{25}{yz+zx+xy+4}$
Cần c/m: $\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}$\leq \frac{25}{yz+zx+xy+4}$
$\Leftrightarrow (yz+zx+xy)(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})+4(xy^{2}+yz^{2}+zx^{2})\leq 25xyz+4(yz+zx+xy)+16$
BĐT trên sẽ được c/m nếu c/m được: $xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\leq 4$.
KMTTQ, g/sử y nằm giữa x và z. $\Rightarrow x(x-y)(y-z)\geq 0$
$\Leftrightarrow xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\leq y(x^{2}+xz+z^{2})\leq y(x+z)^{2}$
Đến đây áp dụng BĐT AM-GM:
$y(x+z)^{2}=4.y.(\frac{x+z}{2})(\frac{x+z}{2})\leq \frac{4(y+\frac{x+z}{2}+\frac{x+z}{2})^{3}}{27}=\frac{4(x+y+z)^{3}}{27}=4$ (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi, chẳng hạn $x=0;y=1;z=2$
12 tháng 4 2020
Áp dụng BĐT AM-GM và BĐT Rearrangement ta có:
\(VT=\frac{x+1}{y+1}+\frac{y+1}{z+1}+\frac{z+1}{x+1}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)+xy^2+yz^2+zx^2+3}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)\(\le\frac{21+y\left(x+z\right)^2}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+xz\right)}}\le\frac{21+\frac{\left(\frac{2\left(x+y+z\right)}{3}\right)^3}{2}}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}=\frac{21+4}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}=\frac{25}{3\sqrt[3]{4\left(xy+yz+zx\right)}}\)
Dấu "=" xảy ra <=> (x;y;z)=(2;1;0) và hoán vị của nó
DN
2
28 tháng 12 2019
\(\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{x+y}-\frac{x+y}{2}\le\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{2\sqrt{xy}}-\frac{x+y}{2}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}-\frac{x+y}{2}\)
Cần chứng minh : \(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}-\frac{x+y}{2}\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}-x-y\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow2\sqrt{x}+2\sqrt{y}-2x-2y\le1\)
\(\Leftrightarrow2x+2y-2\sqrt{x}-2\sqrt{y}+1\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{2y}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\ge0\)
Vì BĐT cuối luôn đúng nên BĐT cần chứng minh luôn đúng khi x = y = \(\frac{1}{4}\)
28 tháng 12 2019
\(VT=\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{x+y}-\frac{x+y}{2}\le\frac{\sqrt{2xy\left(x+y\right)}}{x+y}-\frac{x+y}{2}\)
\(\le\frac{\left(x+y\right)\sqrt{\frac{x+y}{2}}}{x+y}-\frac{x+y}{2}\) . Cm : \(\sqrt{\frac{x+y}{2}}-\frac{x+y}{2}\le\frac{1}{4}\)
Đặt \(x+y=t>0\)thì :
\(\sqrt{\frac{t}{2}}-\frac{t}{2}\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow-\frac{1}{4}\left(\sqrt{2t}-1\right)^2\le0\) ( đúng )
Chúc bạn học tốt !!!
19 tháng 5 2019
Ta có : \(xy\left(x+y\right)^2\le\frac{1}{64}\)\(\Rightarrow\)\(\sqrt{xy\left(x+y\right)^2}\le\sqrt{\frac{1}{64}}\)
\(\Rightarrow\)\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{8}\)
ta cần c/m \(\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{8}\)
Thật vậy, ta có
Áp dụng BĐT : \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b
\(\sqrt{xy}\left(x+y\right)=\frac{1}{2}.2\sqrt{xy}\left(x+y\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(x+2\sqrt{xy}+y\right)^2}{4}=\frac{\left(\sqrt{x}^2+2\sqrt{xy}+\sqrt{y}^2\right)^2}{4}.\frac{1}{2}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^4}{8}=\frac{1}{8}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=\frac{1}{4}\)
16 tháng 5 2017
\(\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{x+y}-\frac{x+y}{2}\le\frac{1}{4}\)
Ta có:
\(VT\le\frac{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{2\sqrt{xy}}-\frac{x+y}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}-\frac{x+y}{2}\)
Giờ ta chỉ cần chứng minh
\(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}-\frac{x+y}{2}\le\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow2x+2y-2\sqrt{x}-2\sqrt{y}+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-2\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)+\left(2y-2\sqrt{y}+\frac{1}{2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\sqrt{2y}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\ge0\)(đúng)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{4}\)
ML
12 tháng 5 2016
\(x+y=2\Rightarrow y=2-x\)
\(A=\sqrt{x^2+\left(2-x\right)^2}+\sqrt{x\left(2-x\right)}=\sqrt{2x^2-4x+4}+\sqrt{-x^2+2x}\)
\(A^2=x^2-2x+4+2\sqrt{2x^2-4x+4}.\sqrt{-x^2+2x}\)
\(+A\ge2\Leftrightarrow A^2\ge4\Leftrightarrow x^2-2x+4+2\sqrt{-2x^4+8x^3-12x^2+8x}\ge4\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{-2x^4+8x^3-12x^2+8x}\ge x\left(2-x\right)\)
\(\Leftrightarrow4\left(-2x^4+8x^3-12x^2+8x\right)\ge x^2\left(2-x\right)^2\text{ }\left(do\text{ }x\left(2-x\right)\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow x\left(2-x\right)\left(9x^2-18x+16\right)\ge0\)
Bất đẳng thức trên đúng vì :
\(x\ge0;\text{ }2-x=y\ge0;\text{ }9x^2-18x+16=9\left(x-1\right)^2+7>0\)
Vậy \(A\ge2\)
Tương tự, ta có thể chứng minh \(A\le\sqrt{6}\)
ML
12 tháng 5 2016
Cách khác: \(x+y=2\Rightarrow x^2+y^2+2xy=4\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)
Đặt \(t=\sqrt{xy};t\ge0;\text{ }t\le\frac{x+y}{2}=1\)
\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{xy}=\sqrt{4-2t^2}+t\)
\(+\sqrt{4-2t^2}+t\ge2\Leftrightarrow\sqrt{4-2t^2}\ge2-t\)
\(\Leftrightarrow4-2t^2\ge t^2-4t+4\text{ }\left(do\text{ }2-t>0\right)\)
\(\Leftrightarrow3t^2-4t\le0\Leftrightarrow t\left(3t-4\right)\le0\)
BĐT trên đúng đo \(t\ge0;\text{ }3t-4\le3.1-4=-1<0\)
Vậy \(\sqrt{4-2t^2}+t\ge2\)
Làm tương tự với vế còn lại.
Do x, y là 2 số thực không âm
=> \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\end{cases}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho 2 số dương x,y ta được
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\)
\(\Rightarrow\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}\) ( Điều phải chứng minh)
kb vs mk nha , nhớ k cho mk nhé
cảm ơn nhiều
Ta có \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\)
<=> \(2\sqrt{xy}\le x+y\)
<=> \(x-2\sqrt{xy}+y\ge0\)
<=> \(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )