K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
29 tháng 11 2021
\(1,\dfrac{1}{1+x}=1-\dfrac{1}{1+y}+1-\dfrac{1}{1+z}=\dfrac{y}{1+y}+\dfrac{z}{1+z}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\)
Cmtt: \(\dfrac{1}{1+y}\ge2\sqrt{\dfrac{xz}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)}};\dfrac{1}{1+z}\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}}\)
Nhân VTV
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge8\sqrt{\dfrac{x^2y^2z^2}{\left(1+x\right)^2\left(1+y\right)^2\left(1+z\right)^2}}\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\dfrac{8xyz}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\\ \Leftrightarrow8xyz\le1\Leftrightarrow xyz\le\dfrac{1}{8}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
29 tháng 11 2021
\(2,\\ a,2x^2+y^2-2xy=1\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+x^2=1\\ \Leftrightarrow\left(x-y\right)^2=1-x^2\ge0\\ \Leftrightarrow x^2\le1\Leftrightarrow\sqrt{x^2}\le1\Leftrightarrow\left|x\right|\le1\)
DA
0
LT
20 tháng 8 2020
:3 em từ olm sang đây có gì sai thì chỉ bảo
Áp dụng bất đẳng thức \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\forall x;y;z\inℝ\)
ta có \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)=9abc>0\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\sqrt{abc}\)Ta lại có \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\forall a;b;c>0\)
Thật vậy \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)=1+\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)+abc\)
\(\ge1+3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}+abc=\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)
Khi đó \(P\le\frac{2}{3\left(1+\sqrt{abc}\right)}+\frac{\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}+\frac{\sqrt{abc}}{6}\)
Đặt \(\sqrt[6]{abc}=t\Rightarrow\sqrt[3]{abc}=t^2,\sqrt{abc}=t^3\)
Vì a,b,c > 0 nên 0<abc \(\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2=1\Rightarrow0< t\le1\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{2}{3\left(1+t^3\right)}+\frac{t^2}{1+t^2}+\frac{1}{6}t^3;t\in(0;1]\)
\(\Rightarrow f'\left(t\right)=\frac{2t\left(t-1\right)\left(t^5-1\right)}{\left(1+t^3\right)^2\left(1+t^2\right)^2}+\frac{1}{2}t^2>0\forall t\in(0;1]\)
Do hàm số đồng biến trên (0;1] nên \(f\left(t\right)< f\left(1\right)\Rightarrow P\le1\)
\(\Rightarrow\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{6}+\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\le1\)
Dấu ''='' xảy ra khi \(a=b=c=1\)
23 tháng 8 2019
Vs x,y,z>0 .Áp dụng bđt Svac-xơ có:
\(P=\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}\)
<=> P\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)
<=> P\(\ge1\)
Dấu "=" xảy ra<=> x=y=z=1
Vậy minP=1 <=> x=y=z=1
23 tháng 8 2019
Solution:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 9 2019
\(\left\{{}\begin{matrix}x=2-y-z\\z^2-2xy+4=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow z^2-2y\left(2-y-z\right)+4=0\)
\(\Rightarrow z^2-4y+2y^2+2yz+4=0\)
\(\Rightarrow z^2+2yz+y^2+y^2-4y+4=0\)
\(\Rightarrow\left(z+y\right)^2+\left(y-2\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}z+y=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\z=-2\\x=2\end{matrix}\right.\)
b/ Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}=1\)
\(\Rightarrow P_{min}=1\) khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 10 2019
1/ ĐKXĐ: \(x\ge1;y\ge4\)
\(M=\frac{1\sqrt{x-1}}{x}+\frac{2.\sqrt{y-4}}{2y}\le\frac{1+x-1}{2x}+\frac{4+y-4}{4y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\(M_{max}=\frac{3}{4}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-4}=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=8\end{matrix}\right.\)
2/ \(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^2+4x+4=8\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+2\right)^2=8=2^2+2^2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2=4\\\left(x+2\right)^2=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)
3/ \(\frac{x^2}{y^2}+1\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}}=\frac{2x}{y}\)
Tương tự: \(\frac{y^2}{z^2}+1\ge\frac{2y}{z}\) ; \(\frac{z^2}{x^2}+1\ge\frac{2z}{x}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+3\ge\frac{2x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{2z}{x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+3\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+3\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+3\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
AT
19 tháng 8 2018
\(y^2-2xy-3x-2=0\)
\(\Leftrightarrow y^2-2xy+x^2-x^2-3x-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)^2=x^2+3x+2\)
\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)^2=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)
Ta thấy: VT của pt là 1 số chính phương, VP là tích 2 số nguyên liên tiếp nên:
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\Rightarrow y=1\\x=-2\Rightarrow y=2\end{matrix}\right.\)
Vậy (x;y) = (-1;1) ; (-2;2)
\(\)
HP
4 tháng 9 2020
đoạn sau thêm tham số để làm thì làm sao để tìm được tham số đó ạ, em cũng làm đến đó nhưng không tìm được tham số phù hợp
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 9 2020
UCT mở rộng: ta sẽ đi tìm m;n sao cho: \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le ma+nb\)
\(\Leftrightarrow a^3+ma^2b+\left(3m+n\right)ab^2+\left(3n-5\right)b^3\ge0\) (1)
\(\Leftrightarrow x^3+m.x^2+\left(3m+n\right)x+\left(3n-5\right)\ge0\) với \(x=\frac{a}{b}\)
Dự đoán rằng sẽ phân tích về dạng \(\left(a-b\right)^2.P\left(a;b\right)\) hay \(\left(x-1\right)^2P\left(x\right)\)
Do đó (1) phải có nghiệm \(x=1\)
\(\Rightarrow4m+4n-4=0\Rightarrow n=1-m\)
Thay vào: \(x^3+mx^2+\left(2m+1\right)x-3m-2\ge0\)
Hoocne hạ bậc: \(\left(x-1\right)\left(x^2+\left(m+1\right)x+3m+2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+\left(m+1\right)x+3m+2\) cũng có 1 nghiệm \(x=1\)
\(\Rightarrow4m+4=0\Rightarrow m=-1\Rightarrow n=2\)
y^2+2xy-3x-2=0 <=> y^2 + 2xy + x^2 - (x^2+3x+2) = 0 <=> (y+x)^2 - (x^2 + x + 2x + 2) =0
<=> (y+x)^2 - (x+1)(x+2) = 0
=> (x+1)(x+2) = 0 (1) hoặc (y+x)^2 =0 (2)
Giải PT (1) ta được x=-1; x=-2
Thay kết quả của PT (1) vào PT (2) ta được y =1 hoặc y =2
Vậy các giá trị x và y cần tìm là : (-1;-2) và (1;2)
Cho mình 1 k nha!
lý luận thêm tí n nhá bạn