Question

[Nguyễn Thu Giang]

Cho \(x>0\)thỏa mãn : \(x^2+\frac{1}{x^2}=7\).Cmr \(x^5+\frac{1}{x^5}\)là 1 số nguyên.Tìm số nguyên đó

Answer 1

[Đinh Thùy Linh]

\(x^2+\frac{1}{x^2}=7\Leftrightarrow x^2+2+\frac{1}{x^2}=9\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=3^2.\)Do x > 0 nên \(x+\frac{1}{x}\)>0 và  \(x+\frac{1}{x}=3\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^3=27\Rightarrow x^3+\frac{1}{x^3}+3\cdot x\cdot\frac{1}{x}\left(x+\frac{1}{x}\right)=27\Rightarrow x^3+\frac{1}{x^3}+3\cdot3=27\Rightarrow x^3+\frac{1}{x^3}=18\)

\(\Rightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)=7\cdot18\Rightarrow x^5+\frac{1}{x^5}+x+\frac{1}{x}=126\Rightarrow x^5+\frac{1}{x^5}+3=126\Rightarrow x^5+\frac{1}{x^5}=123.\)

Vậy \(x^5+\frac{1}{x^5}\)là 1 số nguyên và bằng: 123