Question

[Nguyễn Thị Hà Trang]

cho x>0, y>0 thỏa mãn 1/x+1/y=1/2. tìm giá trị nhỏ nhất của A= \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

Answer 1

[Dương Lam Hàng]

Vì x>0; y>0

Nên áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}}=2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)

Mà \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\)

Nên \(\frac{1}{2}\ge2.\frac{1}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\frac{1}{4}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}\)

\(\Rightarrow4\le\sqrt{xy}\) (C)

Ta có: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{\sqrt{xy}}\)

Thế (C) vào ta được: \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\ge2\sqrt{4}=4\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y

Vậy A_Min = 4 khi và chỉ khi x = y

Answer 2

[Đinh quang hiệp]

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{2}>=\frac{4}{x+y}\Rightarrow x+y>=8\left(1\right)\)(bđt svacxo)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=2\sqrt{\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\frac{1}{2}>=\frac{2}{\sqrt{xy}}\Rightarrow\sqrt{xy}>=4\Rightarrow2\sqrt{xy}>=8\left(2\right)\)(bđt cosi)

từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow x+2\sqrt{xy}+y>=8+8=16\Rightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2>=16\)

mà \(\sqrt{x}>0;\sqrt{y}>0\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}>=4\)

dấu = xảy ra khi x=y=4

vậy min A là 4 khi x=y=4