Question

[Vương Khả Thi]

Cho x>0, y>0 chứng minh rằng 1/x + 1/y \(\ge\) 4/(x+y) với mọi x,y.

Answer 1

[Minh Triều]

\(\text{Xét hiệu:}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{y.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}+\frac{x.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy.\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{y^2+xy}{x^2y+xy^2}+\frac{x^2+xy}{x^2y+xy^2}-\frac{4xy}{x^2y+xy^2}\)

\(=\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2y+xy^2}=\frac{\left(x-y\right)^2}{x^2y+xy^2}\)

\(\text{Vì }\left(x-y\right)^2\ge0\text{ với mọi x;y và }x>0;y>0\)

\(\text{nên: }\frac{\left(x-y\right)^2}{x^2y+xy^2}\ge0\text{ với mọi x;y hay }\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}\ge0\text{ với mọi x;y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\text{ với mọi x;y}\)

Answer 2

[Minh Triều]

\(\text{Xét hiệu:}\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{y.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}+\frac{x.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy.\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{xy+y^2}{xy.\left(x+y\right)}+\frac{x^2+xy}{xy.\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy.\left(x+y\right)}=\frac{x^2-2xy+y^2}{xy.\left(x+y\right)}=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy.\left(x+y\right)}\)

\(\text{Vì }\left(x-y\right)^2\ge0\text{ với mọi x;y };x>0;y>0\)

\(\text{Nên }\frac{\left(x-y\right)^2}{xy.\left(x+y\right)}\ge0\text{ với mọi x;y}\)

\(\text{hay }\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}\ge0\text{ với mọi x;y }\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\text{ với mọi x;y}\)

\(\text{Dấu "=" xảy ra khi x=y}\)