MM
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DF
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2020
\(A\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2xy}+\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y}\)
\(A\ge\dfrac{7\left(x+y\right)^2}{16xy}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{16xy}+\dfrac{\sqrt{xy}}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{\sqrt{xy}}{2\left(x+y\right)}\)
\(A\ge\dfrac{7.4xy}{16xy}+3\sqrt[3]{\dfrac{\left(x+y\right)^2xy}{16.4.xy\left(x+y\right)^2}}=\dfrac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
24 tháng 11 2021
\(1,\) Áp dụng BĐT: \(x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}\text{ và }\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y\)
\(A=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2+17\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2+17\\ A\ge\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2+17\ge\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{4}{a+b}\right)^2+17=\dfrac{25}{2}+17=\dfrac{59}{2}\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+\dfrac{1}{a}=b+\dfrac{1}{b}\\a+b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
24 tháng 11 2021
\(2,\text{Đặt }A=\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\\ \Leftrightarrow A^2=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}+2\left(\dfrac{xy^2z}{xz}+\dfrac{xyz^2}{xy}+\dfrac{x^2yz}{yz}\right)\\ \Leftrightarrow A^2=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\\ \Leftrightarrow A^2=\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}+6\)
Áp dụng Cosi: \(\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{y^2z^2}{x^2}\ge2y^2\)
CMTT: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y^2z^2}{x^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}\ge2z^2\\\dfrac{x^2y^2}{z^2}+\dfrac{x^2z^2}{y^2}\ge2x^2\end{matrix}\right.\)
Cộng VTV \(\Leftrightarrow A^2\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)+6=12\\ \Leftrightarrow A\ge2\sqrt{3}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 12 2020
\(\dfrac{\left(x+y+1\right)^2}{xy+x+y}\ge\dfrac{3\left(xy+x+y\right)}{xy+x+y}=3\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{8\left(x+y+1\right)^2}{9\left(xy+x+y\right)}+\dfrac{\left(x+y+1\right)^2}{9\left(xy+x+y\right)}+\dfrac{xy+x+y}{\left(x+y+1\right)^2}\)
\(A\ge\dfrac{8}{9}.3+2\sqrt{\dfrac{\left(x+y+1\right)^2\left(xy+x+y\right)}{\left(xy+x+y\right)\left(x+y+1\right)^2}}=\dfrac{10}{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
=t (t>=3). cho dễ làm
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 3 2021
\(A=\dfrac{x^2+y^2}{xy}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}=\dfrac{x^2+y^2}{4xy}+\dfrac{xy}{x^2+y^2}+\dfrac{3\left(x^2+y^2\right)}{4xy}\)
\(A\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x^2+y^2\right)xy}{4xy\left(x^2+y^2\right)}}+\dfrac{3.2xy}{4xy}=\dfrac{5}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
\(C=\dfrac{\left(x+y\right)^2-4xy}{xy}+\dfrac{6xy}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{xy}+\dfrac{6xy}{\left(x+y\right)^2}-4\)
\(C=\dfrac{3\left(x+y\right)^2}{8xy}+\dfrac{6xy}{\left(x+y\right)^2}+\dfrac{5\left(x+y\right)^2}{8xy}-4\)
\(C\ge2\sqrt{\dfrac{18xy\left(x+y\right)^2}{8xy\left(x+y\right)^2}}+\dfrac{5.4xy}{8xy}-4=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
24 tháng 5 2021
`P=1/(x^2+y^2)+1/(xy)+4xy`
`=1/(x^2+y^2)+1/(2xy)+4xy+1/(4xy)+1/(4xy)`
Áp dụng bunhia dạng phân thức
`=>1/(x^2+y^2)+1/(2xy)>=4/(x+y)^2`
Mà `(x+y)^2<=1`
`=>1/(x^2+y^2)+1/(2xy)>=4`
Áp dụng cosi:
`4xy+1/(4xy)>=2`
`4xy<=(x+y)^2<=1`
`=>1/(4xy)>=1`
`=>P>=4+2+1=7`
Dấu "=" `<=>x=y=1/2`
TD
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2017
Lời giải:
Ta có: \(A=\frac{3}{x^2+y^2}+\frac{4}{xy}=3\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{5}{2xy}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{(x+y)^2}=4\)
Áp dụng BĐT Am-Gm: \(xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow \frac{5}{2xy}\geq 10\)
Do đó: \(A\geq 3.4+10\Leftrightarrow A\geq 22\)
Vậy \(A_{\min}=22\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
VD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 3 2021
\(\dfrac{x^3}{4\left(y+2\right)}+\dfrac{x\left(y+2\right)}{16}\ge\dfrac{x^2}{4}\) ; \(\dfrac{y^3}{4\left(x+2\right)}+\dfrac{y\left(x+2\right)}{16}\ge\dfrac{y^2}{4}\)
\(\Rightarrow Q+\dfrac{2xy+2x+2y}{16}\ge\dfrac{x^2+y^2}{4}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{8}\)
\(\Rightarrow Q\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)}{8}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{\left(x+y-4\right)^2+7\left(x+y\right)-16}{8}-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow Q\ge\dfrac{7\left(x+y\right)-16}{8}-\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{14\sqrt{xy}-16}{8}-\dfrac{1}{2}=1\)
\(Q_{min}=1\) khi \(x=y=2\)
2 tháng 11 2018
\(A=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{xy}+4xy=\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}+\dfrac{1}{4xy}+4xy+\dfrac{5}{4xy}\)Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\left(a,b>0\right)\)(bn tự cm BĐT này) và BĐT cauchy ta có:
\(A\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}+2\sqrt{\dfrac{1}{4xy}.4xy}+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\)=
\(=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}+2+\dfrac{5}{\left(x+y\right)^2}\ge4+2+5=11\)(vì x+y\(\le\)1)
Vậy Min A = 11 \(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 8 2021
\(2=3\sqrt{xy}+2\sqrt{xz}\le\dfrac{3}{2}\left(x+y\right)+x+z\)
\(\Rightarrow5x+3y+2z\ge4\)
\(A=5\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{xz}{y}\right)+3\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\right)+2\left(\dfrac{xz}{y}+\dfrac{yz}{x}\right)\)
\(A\ge5.2x+3.2y+2.2z=2\left(5x+3y+2z\right)\ge8\)
\(A_{min}=8\) khi \(x=y=z=\dfrac{2}{5}\)
Ta có x2+y2 / x-y = x2-2xy+y2+2xy / x-y
= (x-y)2+2xy / x-y
Mà xy = 1 => 2xy = 2. Thay vào, ta có
(x-y)2+2xy / x-y = (x-y)2+2 / x-y = (x-y)2 / x-y + 2 / x-y
= x-y + 2 / x-y
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có
x-y + 2 / x-y ≥ 2.√(x-y).2 / x-y] = 2.√2 = (√2)3
Vậy Min A = (√2)3