Question

[Lê Nhật Đông Kiều]

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O)

C/m : AB.CD + AD.BC = AC.BD

Answer 1

[¨°o.O♫♀¤♪ Zin Phan ♪¤♂♫O.o°¨]

1. Ta có ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn.
2. Trên cung nhỏ BC, ta có các góc nội tiếp ∠BAC = ∠BDC, và trên cung AB, ∠ADB = ∠ACB.
3. Lấy 1 điểm K trên AC sao cho ∠ABK = ∠CBD;
   1. Từ ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD, suy ra ∠CBK = ∠ABD.
4. Do vậy tam giác △ABK đồng dạng với tam giác △DBC, và tương tự có △ABD ∼ △KBC.
5. Suy ra: AK/AB = CD/BD, và CK/BC = DA/BD;
   1. Từ đó AK·BD = AB·CD, và CK·BD = BC·DA;
   2. Cộng các vế của 2 đẳng thức trên: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;
   3. Hay: (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
   4. Mà AK+CK = AC, nên AC·BD = AB·CD + BC·DA; (điều phải chứng minh)

Answer 2

[Đậu ngọc quân]