Question

[Pham Trong Bach]

Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất.

A. OA + OB + OC + OD < AB + BC + CD + DA.

B.  A B + B C + C D + D A 2 < O A + O B + O C + O D .

C. Cả A và B đều đúng.

D. Cả A và B đều sai.

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án cần chọn là:C

+ Xét tam giác OAB ta có OA + OB  > AB (vì trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại).

Tương tự ta có OC + OD  > CD; OB + OC  > BC; OA + OD  > AD

Cộng vế với vế ta được

OA + OB + OC + OD + OB + OC + OA + OD  > AB + BC + CD + AD

⇔ 2(OA + OB + OC + OD)  > AB + BC + CD + DA

⇔ OA + OB + OC + OD  >   A B ​ + B C + C D + D A 2 nên B đúng

+ Xét tam giác ABC có AB + BC  > AC (vì trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại).

Tương tự ta có BC + CD  > BD; CD + DA  > AC; AD + DB  > BD

Cộng vế với vế ta được

AB + BC + BC + CD + CD + DA + DA + AB  > AC + BD + AC + BD

⇔ 2(AB + BC + CD + DA)  > 2(AC + BD)

⇔ AB + BC + CD + DA  > AC + BD mà AC + BD = OA + OC + OB + OD nên

OA + OB + OC + OD  < AB + BC + CD + DA nên A đúng

Vậy cả A, B đều đúng.