Question

[Pham Trong Bach]

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC  là tam giác cân với B A C = 120 0 ,    A B = A C = a .  Hình chiếu của D trên mặt phẳng ABC là trung điểm của BC. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết thể tích của tứ diện ABCD là V = a 3 16 .

A.  R = 91 a 8 .

B.  R = a 13 4 .

C.  R = 13 a 2 .

D.  R = 6 a .

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án A

Gọi H là trung điểm của BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC suy ra H là trung điểm của AO.

Ta có D H = 3. V A B C D S Δ A B C = a 3 4 .

Gọi J là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Khi đó J O ⊥ A B C .  

Do J A = R ,   O A = a  nên J O = R 2 − a 2 .  

Mặt khác H O ⊥ J O ,   H O ⊥ H D  nên ta có

a 3 4 ± R 2 − a 2 2 + a 2 2 = R 2 ⇔ R = a 91 8 .