Question

[FG REPZ]

Cho tam giacs ABC đều có ba đường trng tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G. Chứng minh

a)AD=BE=CF 

b)GA=GB=GC

Answer 1

[Kiều Vũ Linh]

  

a) Do ∆ABC đều

⇒ AB = AC = BC và ∠A = ∠B = ∠C = 60⁰

Do AD, BE, CF là ba đường trung tuyến

⇒ F, E, D lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC

⇒ AF = BF = AE = CE = BD = CD

Xét ∆BEC và ∆CFB có:

CE = BF (cmt)

BC chung

∠BCE = ∠CBF = 60⁰

⇒ ∆BEC = ∆CBF (c-g-c)

⇒ BE = CF (hai cạnh tương ứng)  (1)

Xét ∆ADC và ∆CFA có:

AC chung

CD = AF (cmt)

∠ACD = ∠CAF = 60⁰

⇒ ∆ADC = ∆CFA (c-g-c) 

⇒ AD = CF (hai cạnh tương ứng)   (2)

Từ (1) và (2) ⇒ AD = BE = CF  (3)

b) Do AD là đường trung tuyến ứng với đỉnh A

⇒ AG = 2/3 AD (4)

Do BE là đường trung tuyến ứng với đỉnh B

⇒ BG = 2/3 BE (5)

Do CF là đường trung tuyến ứng với đỉnh C

⇒ CG = 2/3 CF (6)

Từ (3), (4), (5), (6) ⇒ AG = BG = CG