Question

[Pham Trong Bach]

Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AH, H thuộc BC. P thuộc AB sao cho CP là phân giác góc BCA.

Giao điểm của CB và AH là Q. Trung trực của PQ cắt AH và BC lần lượt tại E, F.

2, Chứng minh rằng bốn điểm  P ;    E ;    C ;    F  thuộc một đường tròn.

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Trong tam giác EFC có  C Q ⊥ E F  (do EF là trung trực PQ);  E Q ⊥ F C  nên  F Q ⊥ E C .  

Từ đó E M N ^ = 90 0 , nên tứ giác EKNM nội tiếp đường tròn đường tròn đường kính .

Ta có tứ giác EKCH nội tiếp đường tròn đường kính EC nên  P E Q ^ = H C K ^ .

Chú ý: EF là phân giác góc PEQ và CQ là phân giác góc HCK, do đó  P E F ^ = 1 2 P E Q ^ = 1 2 H C K ^ = P C F ^ . Do đó tứ giác PECF nội tiếp.