Question

[Công Chúa Mắt Tím]

Cho tam giác MNP cân ở P, MN = 6 cm, PI là phân giác của góc MPN (I thuộc MN)

a, Chứng minh: Tam giác MPI = Tam giác NPI

b, Kẻ IK vuông góc với PM tại K, IH vuông góc với PN tại H.

Chứng minh: IP là phân giác của góc KIH

c, Trên tia đối của tia IP, lấy điểm Q sao cho IQ = IM

Chứng minh: Tam giác MIQ vuông cân. Tính độ dài MQ.

d, Tam giác MNP cần thêm điều kiện gì để tam giác PKH đều?

Answer 1

[Nhật Hạ]

GT	△MNP cân tại P.   MN = 6cm,   NPI = MPI = NPM/2 ,  (I  MN)  IK ⊥ PM ,  IH ⊥ PN . IQ = IM
KL	a, △MPI = △NPI  b, HIP = PIK  c, △MIQ vuông cân. MQ = ?  d, Nếu PKH đều, điều kiện △MNP

Bài làm:

a,  Vì △MNP cân tại P => PN = PM

Xét △NPI và △MPI

Có: NP = MP (gt)

      NPI = MPI (gt)

    PI là cạnh chung

=> △NPI = △MPI (c.g.c)

b, Xét △HPI vuông tại H và △KPI vuông tại K

Có: PI là cạnh chung

   HPI = KPI (gt)

=> △HPI = △KPI (ch-gn)

=> HIP = PIK (2 góc tương ứng)

Mà IP nằm giữa IH, IK

=> IP là phân giác KIH

c, Ta có: PIN = MIQ (2 góc đối đỉnh)

Mà PIN = 90^o (gt)

=> MIQ = 90^o    (1) 

Xét △MIQ có: IQ = IM => △MIQ cân tại I   (2)

Từ (1), (2) => △MIQ vuông cân tại I

Vì △NPI = △MPI (cmt) 

=> IN = IM (2 cạnh tương ứng)

Mà MN = IN + IM = 6 (cm)

=> IN = IM = 6 : 2 = 3 (cm)

Mà IM = IQ 

=> IM = IQ = 3 (cm)

Xét △MIQ vuông tại I có: IQ² + IM² = MQ² (định lý Pitago)

=> 3² + 3² = MQ²

=> 9 + 9 = MQ²

=> 18 = MQ²

=> MQ = \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)

d, Để △PHK đều <=> HPK = PKH = KHP = 60^o

=> △MNP có NPM = 60^o mà △MNP cân

=> △MNP đều

Vậy để △PKH đều <=> △MNP đều